1. Dany jest prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) i środek \(\displaystyle{ E}\) jego boku \(\displaystyle{ CD}\). Ile jest równy stosunek \(\displaystyle{ AB:BC}\), jeżeli odcinek \(\displaystyle{ BE}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ AC}\)?
2. Dany jest prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ AB=2AD}\). Prosta l przechodząca przez wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) ma tę własność, że jej odległości od punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) są odpowiednio równe \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 2}\). Ile jest równa długość boku \(\displaystyle{ AB}\)?
3. Oblicz długość boku kwadratu, którego dwa wierzchołki leżą na prostej, a pozostałe dwa leżą na zewnętrznie stycznych okręgach o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) stycznych do tej prostej.
Sa to 3 zadania z Kangura sprzed 3 lat, których nie umiem zrobić, same odpowiedzi znam. Proszę o wskazówki.
3 zadania z odległościami i prostokątami
-
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 11 sty 2017, o 15:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
3 zadania z odległościami i prostokątami
Ostatnio zmieniony 6 mar 2017, o 18:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
3 zadania z odległościami i prostokątami
2. Pobaw się z trójkątami prostokątnymi utworzonymi przez punkty B, C, A i ich rzuty na prostą L :d
3. - wniosek jest oczywisty. Prowadzisz średnice okręgów prostopadłe do tej prostej i budujesz kwadrat na tych dwóch prostych. Skoro jego przekątna ma długość 4, to bok ma...
3. - wniosek jest oczywisty. Prowadzisz średnice okręgów prostopadłe do tej prostej i budujesz kwadrat na tych dwóch prostych. Skoro jego przekątna ma długość 4, to bok ma...
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
3 zadania z odległościami i prostokątami
2) Szukałem - bo kiedyś tu robiłem (chyba) - nie znalazłem.
\(\displaystyle{ CE=2}\)
\(\displaystyle{ BG=6}\)
F przecięcie DC z daną prostą.
Podobieństwo ABG i CEF + Pitagorasy.
\(\displaystyle{ CE=2}\)
\(\displaystyle{ BG=6}\)
F przecięcie DC z daną prostą.
Podobieństwo ABG i CEF + Pitagorasy.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
3 zadania z odległościami i prostokątami
1)
\(\displaystyle{ \frac{\left|AB \right| }{\left| BC\right| }= \frac{2\left|CE \right| }{\left| BC\right| }=2\tan \left\{ \angle CBE \right\}= 2\tan \left\{ \angle BAC \right\}= 2 \frac{\left|BC \right| }{\left| AB\right| }\\
\left( \frac{\left|AB \right| }{\left| BC\right| }\right)^2=2}\)
2)
Niech \(\displaystyle{ \left|AD \right|=x}\), a kąt między prostą l a bokiem \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) to alfa.
Wtedy:
a) dla prostej l przecinającej dłuższy bok prostokąta mam zależności
\(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{x}{ \frac{4x}{3} } \wedge \sin \alpha = \frac{4}{ \frac{4x}{3} }}\)
b) dla prostej l przecinającej krótszy bok prostokąta mam zależności
\(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{ \frac{3x}{4} }{2x} \wedge \sin \alpha = \frac{6}{ 2x }}\)
z których można wyliczyć boki prostokąta.
3)
Tu jest nieskończenie wiele rozwiązań:
\(\displaystyle{ \frac{\left|AB \right| }{\left| BC\right| }= \frac{2\left|CE \right| }{\left| BC\right| }=2\tan \left\{ \angle CBE \right\}= 2\tan \left\{ \angle BAC \right\}= 2 \frac{\left|BC \right| }{\left| AB\right| }\\
\left( \frac{\left|AB \right| }{\left| BC\right| }\right)^2=2}\)
2)
Niech \(\displaystyle{ \left|AD \right|=x}\), a kąt między prostą l a bokiem \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) to alfa.
Wtedy:
a) dla prostej l przecinającej dłuższy bok prostokąta mam zależności
\(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{x}{ \frac{4x}{3} } \wedge \sin \alpha = \frac{4}{ \frac{4x}{3} }}\)
b) dla prostej l przecinającej krótszy bok prostokąta mam zależności
\(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{ \frac{3x}{4} }{2x} \wedge \sin \alpha = \frac{6}{ 2x }}\)
z których można wyliczyć boki prostokąta.
3)
Tu jest nieskończenie wiele rozwiązań:
Ukryta treść: