3 zadania z odległościami i prostokątami

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Niezmiennik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 11 sty 2017, o 15:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

3 zadania z odległościami i prostokątami

Post autor: Niezmiennik »

1. Dany jest prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) i środek \(\displaystyle{ E}\) jego boku \(\displaystyle{ CD}\). Ile jest równy stosunek \(\displaystyle{ AB:BC}\), jeżeli odcinek \(\displaystyle{ BE}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ AC}\)?
2. Dany jest prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ AB=2AD}\). Prosta l przechodząca przez wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) ma tę własność, że jej odległości od punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) są odpowiednio równe \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 2}\). Ile jest równa długość boku \(\displaystyle{ AB}\)?
3. Oblicz długość boku kwadratu, którego dwa wierzchołki leżą na prostej, a pozostałe dwa leżą na zewnętrznie stycznych okręgach o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) stycznych do tej prostej.

Sa to 3 zadania z Kangura sprzed 3 lat, których nie umiem zrobić, same odpowiedzi znam. Proszę o wskazówki.
Ostatnio zmieniony 6 mar 2017, o 18:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

3 zadania z odległościami i prostokątami

Post autor: piasek101 »

1) Podobieństwo ABF i CEF (F - punkt przecięcia AC i BE.
Oraz tw. Pitagorasa w trójkątach ABC; ABF; CEF.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

3 zadania z odległościami i prostokątami

Post autor: a4karo »

1. Bardzo ładnie iloczynem skalarnym się to liczy
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

3 zadania z odległościami i prostokątami

Post autor: PoweredDragon »

2. Pobaw się z trójkątami prostokątnymi utworzonymi przez punkty B, C, A i ich rzuty na prostą L :d


3. - wniosek jest oczywisty. Prowadzisz średnice okręgów prostopadłe do tej prostej i budujesz kwadrat na tych dwóch prostych. Skoro jego przekątna ma długość 4, to bok ma...
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

3 zadania z odległościami i prostokątami

Post autor: piasek101 »

2) Szukałem - bo kiedyś tu robiłem (chyba) - nie znalazłem.
\(\displaystyle{ CE=2}\)
\(\displaystyle{ BG=6}\)
F przecięcie DC z daną prostą.
Podobieństwo ABG i CEF + Pitagorasy.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

3 zadania z odległościami i prostokątami

Post autor: kerajs »

1)
\(\displaystyle{ \frac{\left|AB \right| }{\left| BC\right| }= \frac{2\left|CE \right| }{\left| BC\right| }=2\tan \left\{ \angle CBE \right\}= 2\tan \left\{ \angle BAC \right\}= 2 \frac{\left|BC \right| }{\left| AB\right| }\\
\left( \frac{\left|AB \right| }{\left| BC\right| }\right)^2=2}\)


2)
Niech \(\displaystyle{ \left|AD \right|=x}\), a kąt między prostą l a bokiem \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) to alfa.
Wtedy:
a) dla prostej l przecinającej dłuższy bok prostokąta mam zależności
\(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{x}{ \frac{4x}{3} } \wedge \sin \alpha = \frac{4}{ \frac{4x}{3} }}\)
b) dla prostej l przecinającej krótszy bok prostokąta mam zależności
\(\displaystyle{ \tan \alpha = \frac{ \frac{3x}{4} }{2x} \wedge \sin \alpha = \frac{6}{ 2x }}\)
z których można wyliczyć boki prostokąta.

3)
Tu jest nieskończenie wiele rozwiązań:
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ