Kwadrat wpisany w wycinek koła

[Marcoral]

Witam. Bardzo proszę o pomoc w poniższym zadaniu. Moim zadaniem jest policzyć długość boku wycinka wpisanego w wycinek okręgu, gdzie długość promienia koła wynosi \(\displaystyle{ r}\), a kąt \(\displaystyle{ \alpha \in (0, \pi )}\). Intuicja kazała mi się Was poradzić co do słuszności rozwiązania. Byłbym wdzięczny za wskazanie, w którym miejscu popełniłem ewentualny błąd:

1. \(\displaystyle{ \alpha + 2\beta = 180^{\circ}}\), więc \(\displaystyle{ \beta = 90^{\circ}- \frac{1}{2} \alpha}\).
2. \(\displaystyle{ \beta + 90^{\circ} + \gamma = 180^{\circ}}\) (gdzie \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) to kąt przy wierzchołku E kwadratu)
Idąc dalej tym tropem:
3. \(\displaystyle{ \gamma=90^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha)=\frac{1}{2} \alpha}\)

4. Zauważam, że \(\displaystyle{ CED}\) to wycinek koła o promieniu równym \(\displaystyle{ a}\) oraz kącie \(\displaystyle{ \gamma}\).
5. Zatem: \(\displaystyle{ AE=r-a}\)
6. Z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ a^{2} = (r-a)^{2}+(r-a)^{2}-2(r-a)^{2}\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ a^{2} = (r-a)^{2}(2-2\cos \alpha)}\)
\(\displaystyle{ a = (r-a)( \sqrt{2-2\cos \alpha} )}\)
\(\displaystyle{ a(1+\sqrt{2-2\cos \alpha}) = r\sqrt{2-2\cos \alpha}}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{r\sqrt{2-2\cos \alpha}}{1+\sqrt{2-2\cos \alpha}}}\)

PS: Widziałem ten https://www.matematyka.pl/164453.htm temat, ale za chiny nie widzę tego trójkąta \(\displaystyle{ r, 2a, \frac{a}{\sin0,5\alpha}}\) (\(\displaystyle{ 2a}\) tam, to u mnie po prostu \(\displaystyle{ a}\)).

Rysunek na którym się oparłem pisząc pytanie:

AU

iIHS7sj.png (9.82 KiB) Przejrzano 118 razy

Jeżeli ktoś znajdzie jakiś inny sposób na rozwiązanie zadania, również byłbym wdzięczny.
Oprócz powyższego tematu nie mogłem znaleźć żadnego podobnego zadania. (a szukałem nawet frazami po angielsku )

[mat_61]

Witam.

Błędem w rozwiązaniu jest wniosek z punktu 4. Z czego on wynika?
ECD nie jest wycinkiem koła (symetralna odcinka CD nie przechodzi przez punkt E, tylko przez punkt A).

Nie próbowałem tego rozwiązania, ale proponuję narysować cięciwę CB i wyznaczyć punkt F przecięcia odcinków ED i CB. Otrzymamy dwa trójkąty prostokątne EFC oraz DFC które mogą być przydatne do rozwiązania zadania.

[Marcoral]

Proponuję narysować cięciwę CB i wyznaczyć punkt F przecięcia odcinków ED i CB. Otrzymamy dwa trójkąty prostokątne EFC oraz DFC które mogą być przydatne do rozwiązania zadania.

Spróbowałem, ale o otrzymanych trójkątach niestety nie da się chyba już nic więcej powiedzieć.

[kinia7]

Narysowałam dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), która przecięła boki kwadratu w \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\).

\(\displaystyle{ \frac{AM}{EM}=\ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right) \ \ \ \Rightarrow \ \ \ AM=EM\cdot \ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right)=\frac12a\cdot \ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right)}\)

z tw. Pietii Golasa w \(\displaystyle{ \triangle AND}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} AD^2=AN^2+ND^2 \\AD=r\\AN=AM+a=\frac12a\cdot \ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right)+a\\ND=\frac12a \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ r^2=\frac14a^2\left(\ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right)+2 \right) ^2+\frac14a^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \red a=\frac{2}{\sqrt{\left(\ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right)+2 \right) ^2+1}}\cdot r}\)

[Longines]

P kinia7 uprzedziła mnie, ależ to zupełnie normalne - szacunek.
"Mój" wzór bardzo podobny. Obliczenia oparłem na mierze łukowej.