Kwadrat i łuk- optymalizacja

[karolex123]

Zadanie brzmi:
W kwadracie \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku długości \(\displaystyle{ 2}\) zawiera się łuk o środku w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i promieniu \(\displaystyle{ AB}\). Rozważamy wszystkie odcinki spełniające jednocześnie dwa warunki:
1) Odcinek jest styczny do danego łuku w dowolnie wybranym na tym łuku punkcie \(\displaystyle{ E}\) (\(\displaystyle{ E \neq B}\) i \(\displaystyle{ E \neq D}\)).
2)Jeden koniec odcinka należy do boku \(\displaystyle{ BC}\), zaś drugi do boku \(\displaystyle{ DC}\)
Wykaż, że najkrótszy odcinek spełniający warunki zadania ma długość \(\displaystyle{ 4( \sqrt{2}-1)}\)

Zrobiłem to zadanie korzystając z rachunku różniczkowego (nie było to zbyt trudne). Oczywiście szukany odcinek jest taki, że punkt \(\displaystyle{ E}\) należy do przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) tego kwadratu. Zastanawiam się, czy istnieje jakiś elementarny, geometryczny dowód, że właśnie ten odcinek jest najkrótszy. Próbowałem wybrać dowolny, inny odcinek spełniający warunki zadania różny od tego, który jest styczny do łuku w jego środku, jednak nie udało mi się dojść do sensownych wniosków. Moje pytanie brzmi, czy istnieje takie elementarne rozwiązanie tego zadania? Z góry dziękuję za odpowiedzi