Ciekawe pole

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Ciekawe pole

Post autor: mol_ksiazkowy »

Obliczyć pole tej figury (rys.)*

* możliwie jak najprościej...
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Ciekawe pole

Post autor: SlotaWoj »

  • \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\cdot5\sqrt{2}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\left(1-\left(\frac{4}{5}\right)^2\right)=\frac{9}{10}}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Ciekawe pole

Post autor: kerajs »

mol_ksiazkowy pisze:* możliwie jak najprościej...
Najprościej niekoniecznie jest równoważne z najszybciej.

Gimnazjalista szukałby równania prostej przechodzącej przez początek układu i punkt \(\displaystyle{ (1,4) : \ y= 4x}\), równania prostej przechodzącej przez początek układu i punkt \(\displaystyle{ (2,3) : \ y=}\) aby znaleźć ich przecięcie z prostą przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ (0,4) \ i \ (4,0) : \ y= -x+4}\). Uzyskałby wierzchołki czworokąta \(\displaystyle{ ( \frac{4}{5}, \frac{15}{5}) \ i \ ( \frac{8}{5}, \frac{12}{5})}\) i wykreślił prostokąt:
Ukryta treść:    
i wyliczył zaznaczone odległości przez odjęcie odpowiednich współrzędnych.
Wtedy:
\(\displaystyle{ P_c=P_k-P_t= \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{5}- \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} +\frac{1}{2} \cdot \f \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} +\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} \right) =\frac{9}{10}}\)

Sprytniejszy uczeń by sobie ułatwił odcinając rogi prostokąta wzdłuż czarnych linii i nakładając uzyskane trójkąty na szukane pole:
Ukryta treść:    
a wtedy:
\(\displaystyle{ 2P_c=P_k- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5} \\
P_c= \frac{1}{2} \left( P_k- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5}\right)= \frac{1}{2}\left( \frac{6}{5} \cdot \frac{8}{5}- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5}\right)= \frac{9}{10}}\)
Ostatnio zmieniony 21 lut 2017, o 10:11 przez kerajs, łącznie zmieniany 4 razy.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Ciekawe pole

Post autor: a4karo »

Zamiana zmiennych: \(\displaystyle{ a=x+y, b=y/x}\) zamienia ten obszar w prostokąt \(\displaystyle{ 4\leq a\leq 5,\ 1.5\leq b\leq 4}\) i wystarczy wyliczyć jakobian.
Awatar użytkownika
tajnosagentos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 19 lut 2017, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ziemia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Ciekawe pole

Post autor: tajnosagentos »

Całki podwójne.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Ciekawe pole

Post autor: SlotaWoj »

Kerajs mnie „natchnął” i można nieco prościej:
  • \(\displaystyle{ \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot5^2\cdot\left(1-\left(\frac{4}{5}\right)^2\right)=\frac{9}{10}}\)
ODPOWIEDZ