Kąty na okręgu

[damianb543]

1. Średnica \(\displaystyle{ AB}\) i cięciwa \(\displaystyle{ CD}\) przecinają sie w punkcie \(\displaystyle{ M}\) takim że kąt \(\displaystyle{ CMB}\) ma miarę \(\displaystyle{ 73^\circ}\) a kąt środkowy oparty na łuku \(\displaystyle{ BC}\) ma miarę \(\displaystyle{ 110 ^\circ}\). Zatem miara kąta środkowego opartego na łuku \(\displaystyle{ BD}\) jest równa?

2. Cięciwa dzieli okrąg w stosunku \(\displaystyle{ 7:13}\), zatem kąt między stycznymi do okręgu poprowadzonymi z końców cięciwy jest równy?

[kmarciniak1]

1.

Trójkąt \(\displaystyle{ CSD}\) jest równoramienny. Dopisz jeszcze kilka kątów i znajdziesz szukany.

[damianb543]

a zadanie 2?

[kmarciniak1]

Teraz dopiero mi się udało wpaść na pomysł

Jeżeli cięciwa dzieli okrąg w stosunku \(\displaystyle{ 7:13}\) to w takim samym stosunku podzielony jest kąt pełny o wierzchołku w środku koła.Czyli kąt środkowy oparty na łuku o długości \(\displaystyle{ 7x}\)
wynosi \(\displaystyle{ \frac{7}{20} \cdot 360 ^{\circ}=126 ^{\circ}}\)

Szukany kąt to \(\displaystyle{ 360^{\circ} -180^{\circ}-126^{\circ}=54^{\circ}}\)

[damianb543]

Teraz dopiero mi się udało wpaść na pomysł

Jeżeli cięciwa dzieli okrąg w stosunku \(\displaystyle{ 7:13}\) to w takim samym stosunku podzielony jest kąt pełny o wierzchołku w środku koła.Czyli kąt środkowy oparty na łuku o długości \(\displaystyle{ 7x}\)
wynosi \(\displaystyle{ \frac{7}{20} \cdot 360 ^{\circ}=126 ^{\circ}}\)

Szukany kąt to \(\displaystyle{ 360^{\circ} -180^{\circ}-126^{\circ}=54^{\circ}}\)

Wytłumacz mi skąd wziąłeś to 360 stopni i 180?

[kmarciniak1]

\(\displaystyle{ 360 ^{\circ}}\) to suma kątów w dowolnym czworokącie a \(\displaystyle{ 180 ^{\circ}}\) to suma dwóch kątów prostych
Tutaj rysunek:

[damianb543]

\(\displaystyle{ 360 ^{\circ}}\) to suma kątów w dowolnym czworokącie a \(\displaystyle{ 180 ^{\circ}}\) to suma dwóch kątów prostych
Tutaj rysunek:

a po drugiej stronie nie może być wtedy kąt srodkowy 243 stopnie?

[kmarciniak1]

Chyba chodziło ci o \(\displaystyle{ 234 ^{\circ}}\) , ale i tak nie wiem do czego jest ci to potrzebne...
Bo z tej drugiej strony styczne się nie przetną

[damianb543]

Chyba chodziło ci o \(\displaystyle{ 234 ^{\circ}}\) , ale i tak nie wiem do czego jest ci to potrzebne...
Bo z tej drugiej strony styczne się nie przetną

no to damy ze tutaj jest 13x, dlaczego tak nie może być ?

[kmarciniak1]

Właśnie chodzi o to, że styczne zawsze przetną się po stronie \(\displaystyle{ 7x}\).
A ogólniej ujmując to przetną się po tej stronie gdzie długość łuku jest mniejsza od połowy obwodu okręgu.

Zresztą można łatwo doprowadzić do sprzeczności ten przypadek gdy kąt środkowy ma \(\displaystyle{ 234 ^{\circ}}\)
Gdyż wtedy powstały czworokąt miałby \(\displaystyle{ 234^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+ \alpha =414^{\circ}+ \alpha}\)


jest to o wiele za dużo jak na czworokąt