Czy istnieje wzór ogólny na pole wielokąta wypukłego.

[qwertghjio]

Witam, zastanawiam się, czy istnieje jakiś wzór ogólny, który pozwoli obliczyć pole dowolnego wielokąta wypukłego, mając dane jego punkty w układzie współrzędnych. Przy czym te punkty mogą być ułamkami, innymi słowy \(\displaystyle{ x,y \in R}\).

[a4karo]

Paul Erdos lubił mówić o Księdze, w której Bóg gromadzi doskonałe dowody twierdzeń matematycznych. (ze wstępu do Dowodów z Księgi Aignera i Zieglera).

Sądząc po Twoim wieku, już niedługo sam będziesz mógł ten wzór znależć

[JakimPL]

Być może interesuje Cię analogia do opisującego pole wielokąta o współrzędnych całkowitych (tzw. punkty kratowe).

W przypadku skończenie wielu punktów na płaszczyźnie o współrzędnych wymiernych, wystarczy przyjąć siatkę tak by, każdy punkt był punktem kratowym.

[qwertghjio]

a4karo, No długo nie było trzeba czekać , aczkolwiek ładnym to ja bym go nie nazwał

[a4karo]

a4karo, No długo nie było trzeba czekać , aczkolwiek ładnym to ja bym go nie nazwał

Wzór Picka jest jednym z najelegantszych w swojej prostocie jakie znam. Szczególnie,że na przepiękny (choć niezbyt znany) dowód.

[dec1]

\(\displaystyle{ S=\left| \dfrac{\displaystyle\sum\limits_{\mathrm{cyc}} \left( x_1y_2 - y_1x_2\right)}{2}\right|}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ S=\left| \dfrac{\displaystyle\sum\limits_{\mathrm{cyc}} \left( x_1y_2 - y_1x_2\right)}{2}\right|}\)

Jakies założenia do tego wzoru by sie przydały (np. że \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest wewnątrz wielokąta)

[qwertghjio]

a4karo, Ale ja o tym wzorze nie mówię, bo jak już wspomniałem mnie interesuje wzór, który pomoże mi obliczyć pole całkowite dowolnego wielokąta wypukłego mając tylko jego wierzchołki, a mogą to być ułamki. Zamiast tego po prostu zrobiłem takie coś:\(\displaystyle{ \sum_{k=3}^{n} x_{1} , x_{n-1} , x_{n}}\) Gdzie \(\displaystyle{ n}\) to liczba wierzchołków wielokąta. A \(\displaystyle{ x}\) to odpowiednio wierzchołki wielokąta, które tworzą trójkąt, którego pole trzeba obliczyć. Ja akurat skorzystałem z wyliczenia długości kolejnych odcinków, a następnie skorzystałem ze wzoru Hornera. Możecie się domyślić jak to wygląda w całości