Średnica figury o stałej szerokości

[Majeskas]

Czy średnica figury o stałej szerokości jest równa jej szerokości? Wydaje mi się, że tak, ale nie potrafię tego udowodnić. Próbowałem skorzystać z tego, że taką figurę można "bez luzu" obracać w kwadracie, ale nic.

W skąpej literaturze, jaką dysponuję, pojawia się warunek równoważny: figura ma stałą szerokość wtedy i tylko wtedy, gdy nie można do niej dołączyć ani jednego nowego punktu bez zwiększania średnicy.

Myślałem, że może to się da jakoś prosto uzasadnić i wyprowadzić z tego to, co próbuję wykazać. Jednak nic z tego. Nie potrafię ani uzasadnić tego stwierdzenia, ani wywnioskować z niego to, co chcę. Może ktoś to widzi?

[Majeskas]

Tydzień chodziłem z tym problemem z tyłu głowy i niespodziewanie wszystko mi się rozjaśniło (nie ma jak spacery z psem ).

Odpowiem zatem sam sobie (może ktoś kiedyś będzie szukał czegoś takiego po Sieci i skorzysta?). Rozważania dotyczące stałej szerokości prowadzi się dla figur domkniętych, ograniczonych i jednospójnych. Taka figura ma skończoną średnicę, a dzięki domkniętości jest ona osiągana. Tzn. dla pewnych punktów \(\displaystyle{ P.Q}\) należących do tej figury odcinek \(\displaystyle{ PQ}\) jest najdłuższym odcinkiem o końcach w niej.

Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ PQ}\), przechodzącą przez \(\displaystyle{ Q}\). Wówczas \(\displaystyle{ k}\) jest podpierającą. Istotnie, gdyby jakiś punkt \(\displaystyle{ S}\) leżał po drugiej stronie \(\displaystyle{ k}\) niż \(\displaystyle{ P}\), to odcinek \(\displaystyle{ PS}\) byłby dłuższy od \(\displaystyle{ PQ}\), co jest sprzeczne z tym, że \(\displaystyle{ PQ}\) jest średnicą.
Analogicznie podpierającą jest prosta prostopadła do \(\displaystyle{ PQ}\) i przechodząca przez \(\displaystyle{ P}\). Odcinek \(\displaystyle{ PQ}\) jest więc jedną z szerokości figury. Tak więc dla figury o stałej szerokości średnica jest tą szerokością

[wybitnymatematyk]

Dziękuję Ci, ze wróciłeś i udzieliłeś odpowiedzi sam sobie - zastanawiałem się nad tym problemem i natrafiłem na ten post.
Miałeś rację. Pozdrawiam.