Zad. z Konkursu

Neowinner · Post autor: **Neowinner** » 31 gru 2016, o 21:34

Dzień dobry.
Mam problem z znalezieniem długośći MB DB.
Ktoś wie jak to rozwiązać ?
Promień mam znaleziony.

: AU; d1fcd28300aa6f7cgen.png (7.54 KiB) Przejrzano 104 razy

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 31 gru 2016, o 22:33

\(\displaystyle{ MB=DB=x}\)
\(\displaystyle{ P_{\triangle}=\frac12\cdot AC\cdot(CD+x)\cdot\sin60^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ P_{\triangle}=r\cdot p=r\cdot\frac{AB+BC+AC}{2}=r\cdot(AN+NC+x)}\)
\(\displaystyle{ \frac12\cdot AC\cdot(CD+x)\cdot\sin60^{\circ}=r\cdot(AN+NC+x)\ \ \Rightarrow \ \ x=5}\)

Tomuello · Post autor: **Tomuello** » 31 gru 2016, o 22:46

Narysuj wysokość dużego trójkąta \(\displaystyle{ h}\), z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\), utworzy ona trójkąt 30,60,90, oblicz długość tej wysokości (przeciwprostokątna jest równa \(\displaystyle{ 3+2}\))
I teraz liczysz pole całego trójkąta na 2 sposoby:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \left| CB\right| h}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\left| AB\right| r+\frac{1}{2}\left| BC\right|r +\frac{1}{2}\left| CA\right| r}\)
Podstawiasz co wiesz, przyrównujesz, rozwiązujesz, gotowe

Neowinner · Post autor: **Neowinner** » 31 gru 2016, o 22:51

a jak znalazleś długość przeciwprostokątnej ? móglbyś to pokazać na rysunku ?

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 31 gru 2016, o 23:37

Oznaczmy środek okręgu wpisanego jako \(\displaystyle{ S}\)
mamy trzy trójkąty \(\displaystyle{ ASC\ \ ABS\ \ BCS}\), o wysokościach \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{ASC}+P_{ABS}+P_{BCS}=\frac12r\cdot AC+\frac12r\cdot AB+\frac12r\cdot BC=r\cdot\frac{AC+AB+BC}{2}}\)

Neowinner · Post autor: **Neowinner** » 31 gru 2016, o 23:41

Dziekuje bardzo

Tomuello · Post autor: **Tomuello** » 31 gru 2016, o 23:44

: AU; Q2Fv5qw.png (503 Bajtów) Przejrzano 104 razy

\(\displaystyle{ 3}\) to rzecz jasna, nie długość krótszej przyprostokątnej

Neowinner · Post autor: **Neowinner** » 31 gru 2016, o 23:46

Tylko jeszcze nie kojarze jak z tego drugiego wzoru wyszlo w końcu \(\displaystyle{ r \cdot (AN+ NC + x)}\)?

mint18 · Post autor: **mint18** » 1 sty 2017, o 14:28

Neowinner pisze:Tylko jeszcze nie kojarze jak z tego drugiego wzoru wyszlo w końcu \(\displaystyle{ r \cdot (AN+ NC + x)}\) ?

Bo \(\displaystyle{ AN+ NC + x}\) jest połową obwodu trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). W końcu z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że \(\displaystyle{ AM=AN, BM=BD}\) i \(\displaystyle{ CD=CN}\).