stosunek pól

[TobiWan]

Jeden z wierzchołków kawadratu leży na brzegu koła, a dwa boki tego kwadratu są styczne do tego samego koła. Wyznacz stosunek pola koła do pola kwadratu.

[MrCommando]

Oznaczmy wierzchołki kwadratu jako \(\displaystyle{ A, B, C, D}\), a środek koła jako \(\displaystyle{ O}\). Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie wierzchołkiem leżącym na brzegu koła, a boki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) będą styczne do tego koła. Niech \(\displaystyle{ E}\), \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\) będą rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ O}\) na boki odpowiednio \(\displaystyle{ AD}\), \(\displaystyle{ DC}\) i \(\displaystyle{ AB}\) kwadratu. Przyjmijmy następujące oznaczenia: \(\displaystyle{ \left| DO\right| =r}\), \(\displaystyle{ \left| OE\right| =\left| OF\right| =x}\). Łatwo zauważyć, że czworokąt \(\displaystyle{ DEOF}\) jest kwadratem o boku długości \(\displaystyle{ x}\) i przekątnej \(\displaystyle{ r}\). Zatem \(\displaystyle{ r=x\sqrt{2}}\), a stąd mamy \(\displaystyle{ x=\frac{r\sqrt{2}}{2}}\). Zauważmy, że kwadrat ma bok długości \(\displaystyle{ \left| FG\right| =x+r=\frac{r\sqrt{2}}{2}+r}\), zatem teraz bez problemu możemy obliczyć jego pole, a następnie pole koła i znaleźć szukany stosunek.

\(\displaystyle{ P_1}\) - pole kwadratu, \(\displaystyle{ P_2}\) - pole koła

\(\displaystyle{ P_1=\left( \frac{r\sqrt{2}}{2}+r\right)^2=\frac{1}{2}r^2 \left( 3+2\sqrt{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ P_2=\pi r^2}\)

A więc:

\(\displaystyle{ \frac{P_2}{P_1}=2\pi \left( 3-2\sqrt{2}\right)}\)

[TobiWan]

Dzięki!

[retromaniek]

Nie jestem orłem i nie chcę się wymądrzać, ale czy stosunek nie powinien wynieść pi? Promień koła jest równy długości boku kwadratu a więc pole koła przez pole kwadratu i zostaje samo pi.

[TobiWan]

Promień koła jest równy długości boku kwadratu

skąd to wziąłes?

[retromaniek]

A... mój błąd! Licząc narysowałem, że wierzchołek kwadratu jest w punkcie O koła. A dalej to już poszło...
m.