Wielokąt zawarty w kwadracie

[MrCommando]

Pewien wielokąt wypukły \(\displaystyle{ W}\) zawarty jest w kwadracie o boku długości \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że suma kwadratów długości wszystkich boków wielokąta \(\displaystyle{ W}\) jest nie większa niż \(\displaystyle{ 4}\).

Proszę o pomoc z tym zadaniem. Kompletnie nie wiem jak do tego podejść.

[bosa_Nike]

Pierwsza myśl jest taka, by popatrzeć na rzuty prostokątne boków wielokąta na pary wzajemnie prostopadłych boków kwadratu.

[MrCommando]

Przy pomocy tych rzutów prostokątnych możemy wyrazić kwadraty poszczególnych boków tego wielokąta. Każdy z tych rzutów jest liczbą mniejszą lub równą 1. Tyle zauważyłem. Aczkolwiek nie mam pojęcia jak wykazać, że suma kwadratów wszystkich boków jest mniejsza lub równa 4.

[timon92]

już prawie to masz, możesz skorzystać z tego, że rzuty są nie większe niż \(\displaystyle{ 1}\), a wtedy \(\displaystyle{ x^2 \le x}\)

alternatywnie, można bardzo grubo poszacować sumę kwadratów przez kwadrat sumy

[MrCommando]

Jeśli dobrze rozumiem, to będzie tak:

Oznaczmy sobie boki wielokąta \(\displaystyle{ W}\) jako \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n}\), \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). Rzuty prostokątne boku \(\displaystyle{ a_1}\) na wzajemnie prostopadłe boki kwadratu oznaczymy jako \(\displaystyle{ b_{11}, b_{12}}\), rzuty boku \(\displaystyle{ a_2}\) jako \(\displaystyle{ b_{21}, b_{22}}\), itd., ... rzuty boku \(\displaystyle{ a_n}\) jako \(\displaystyle{ b_{n1},b_{{n2}}\).

Mamy \(\displaystyle{ b_{i1} \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ b_{i2} \le 1}\), gdzie \(\displaystyle{ i\in\{1,2,3,...,n\}}\) (rzuty są nie większe niż długość boku kwadratu).
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ b_{i1}^2 \le b_{i1}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{i2}^2 \le b_{i2}}\). Dodając te nierówności stronami otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ b_{i1}^2 +b_{i2}^2 \le b_{i1}+b_{i2}}\), czyli:
\(\displaystyle{ a_{i}^2 \le b_{i1}+b_{i2}}\)
Z tego wynika, że suma kwadratów boków wielokąta \(\displaystyle{ W}\) będzie mniejsza lub równa od sumy wszystkich rzutów prostokątnych, to znaczy:
\(\displaystyle{ a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2 \le b_{11}+b_{12}+b_{21}+b_{22}+...+b_{n1}+b_{n2}}\)
Suma wszystkich rzutów prostokątnych wielokąta \(\displaystyle{ W}\) jest na pewno nie większa niż obwód kwadratu, czyli:\(\displaystyle{ b_{11}+b_{12}+b_{21}+b_{22}+...+b_{n1}+b_{n2} \le 4}\), a stąd dostajemy:
\(\displaystyle{ a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2 \le 4}\), czyli tezę.

[timon92]

dobrze, ale powiedz jeszcze, w którym miejscu korzystasz z wypukłości wielokąta \(\displaystyle{ W}\)

[MrCommando]

Czy chodzi o to, że tylko w przypadku wielokąta wypukłego możemy stwierdzić, że suma rzutów prostokątnych jest nie większa niż obwód kwadratu?

[timon92]

tak, gdyby wielokąt był wklęsły, to nie można by tego stwierdzić

dokładniejsze uzasadnienie może np. zacząć się od rozważenia wierzchołków "najbardziej na lewo" i "najbardziej na prawo" i rozważenia dwóch łamanych, na które te wierzchołki dzielą obwód wielokąta

potem obserwacja, że dla każdej łamanej rzuty odcinków na poziomy bok kwadratu są rozłączne

[MrCommando]

Dzięki za pomoc