Dowolny punkt w wielokącie

[mint18]

Dowieść, że przez dowolny punkt leżący wewnątrz wielokąta wypukłego można przeprowadzić sieczną tak, aby punkt ten był jej środkiem.

[szw1710]

Ustalmy punkt wewnętrzny \(\displaystyle{ P}\). Niech \(\displaystyle{ A(x,y)}\) będzie punktem brzegu wielokąta. Odległość \(\displaystyle{ AP}\) jest funkcją ciągłą zmiennych \(\displaystyle{ x,y}\). Półprosta \(\displaystyle{ AP}\) przecina brzeg wielokąta w innym punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Prosta \(\displaystyle{ AQ}\) jest sieczna, bo wielokąt jest wypukły. W każdym razie \(\displaystyle{ PQ}\) też jest funkcją ciągłą zmiennych \(\displaystyle{ x,y}\) (punkt \(\displaystyle{ Q}\) wyznaczamy za współrzędnych punktów \(\displaystyle{ A,P}\)). Teraz z twierdzenia Weierstrassa istnieje punkt \(\displaystyle{ A_0}\) minimalizujący odległość \(\displaystyle{ AP}\) oraz punkt \(\displaystyle{ A_1}\) maksymalizujący tę odległość. Na podstawie własności Darboux wnioskujemy, że istnieje punkt \(\displaystyle{ A}\) taki, że obie odległości \(\displaystyle{ AP}\) oraz \(\displaystyle{ AQ}\) są równe (\(\displaystyle{ A_0P\le Q_0P}\) oraz \(\displaystyle{ A_1P\ge Q_1P}\), trzeba dopracować przypadki z równością).

Rozumowanie wymaga formalizacji.