Matematyka.pl

Obliczyć długość promienia okręgu stycznego do przyprostokątnych trójkąta prostokątnego i o środku należącym do przeciwprostokątnej, mając dane długości przyprostokątnych 6 cm i 8 cm

Mając dane długości przyprostokątnych długość przeciwprostokątnej łatwo policzysz. Ponieważ okrąg jest styczny do obu przypr., to znaczy, że jego środek leży na dwusiecznej kąta prostego. A ponieważ wiemy, że środek ten leży też na przeciwpr., to znaczy, że musi on leżeć w punkcie przecięcia dwusiecznej z przeciwpr. Korzystając z tw. o dwusiecznej kąta w trójkącie (które mówi nam, że dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli bok leżący naprzeciw tego kąta w stosunku równym stosunkowi długości odpowiednich boków leżących przy tym kącie (ale lepiej poszukaj tego wzorku w tablicach )) otrzymujemy, że środek tego okręgu dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości \(\displaystyle{ 4\frac{2}{7}}\) oraz \(\displaystyle{ 5\frac{5}{7}}\). Poprowadźmy teraz promienie okręgu do punktów styczności z przypr. - mamy dwa trójkąciki podobne do "dużego" o znanych przeciwpr., a szukanej jednej przypr. (w obu trójkącikach jedną z przyprostokątnych będzie szukany promień okręgu). Dalej już sobie powinnaś poradzić

ja wpadłam na inny pomysł , wydaje mi się że powinien by dobry :


pole trójkata P=0,5*8*6=24


nastepnie nalezy poprowadzic styczne do przyprostokatnych , ktore sa promieniem okregu


jesli poprowadzisz te styczne to zauwazysz 2 trójkąty prostokatne oraz kwadrat


kwadrat ma bok równy r
jeden trójkąt prostokatny ma przyprostokatne 6-r , oraz r
natomiast drugi r oraz 8-r


teraz jak wszystkie pola dodam to otrzymam cale pole trójkata prostokatnego


\(\displaystyle{ \frac{1}{2}r*(6-r)+r^2+\frac{1}{2}r(8-r)=24}\)
\(\displaystyle{ 3r-0,5r^2+r^2+4r-0,5r^2=24}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{24}{7}}\)


odp. promien wynosi \(\displaystyle{ \frac{24}{7}}\)