Problem z trójkątami
- KrolKubaV
- Użytkownik
- Posty: 157
- Rejestracja: 10 wrz 2016, o 18:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 4 razy
Problem z trójkątami
Na płaszczyźnie jest \(\displaystyle{ n}\) punktów takich, że pole dowolnego trójkąta o wierzchołkach w tych punktach jest mniejsze niż 1. Uzasadnij, że wszytkie te punkty można pokryć trójkątem o polu 4. Czy ktos mógłby powiedziec od czego wyjsc?
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1654
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Problem z trójkątami
karakuku, i co dalej?
KrolKubaV, wśród trójkątów, których wierzchołkami są dane punkty wybierz ten, który ma największe pole
dalej zastanów się, gdzie muszą leżeć pozostałe punkty
KrolKubaV, wśród trójkątów, których wierzchołkami są dane punkty wybierz ten, który ma największe pole
dalej zastanów się, gdzie muszą leżeć pozostałe punkty
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Problem z trójkątami
To jak mamy to koło o promieniu \(\displaystyle{ r}\), to maksymalny trójkąt, który się w nim zawiera jest wpisanym trójkątem równobocznym o boku \(\displaystyle{ a}\).
\(\displaystyle{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}<1 \Rightarrow a< \frac{2}{ \sqrt[4]{3} }}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}<\frac{2 \sqrt[4]{3} }{3}}\)
I teraz chcielibyśmy opisać na tym kole trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \frac{b \sqrt{3} }{2}=r \Rightarrow b= \frac{6}{ \sqrt{3} } r= 2 \sqrt{3} r< \frac{4\sqrt{3} \sqrt[4]{3}}{3}}\)
Czyli pole tego trójkąta opisanego: \(\displaystyle{ P= \frac{b^2 \sqrt{3} }{4}< \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3} }{9 \cdot 4}=4}\) - a on pokrywa wsszystkie punkty
\(\displaystyle{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}<1 \Rightarrow a< \frac{2}{ \sqrt[4]{3} }}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}<\frac{2 \sqrt[4]{3} }{3}}\)
I teraz chcielibyśmy opisać na tym kole trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \frac{b \sqrt{3} }{2}=r \Rightarrow b= \frac{6}{ \sqrt{3} } r= 2 \sqrt{3} r< \frac{4\sqrt{3} \sqrt[4]{3}}{3}}\)
Czyli pole tego trójkąta opisanego: \(\displaystyle{ P= \frac{b^2 \sqrt{3} }{4}< \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3} }{9 \cdot 4}=4}\) - a on pokrywa wsszystkie punkty
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1654
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Problem z trójkątami
karakuku, to jest niepoprawnie, skąd wiadomo, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w to koło wynosi \(\displaystyle{ 1}\)?
możesz jedynie stwierdzić, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w to koło to co najmniej \(\displaystyle{ 1}\), ale stąd można otrzymać jedynie oszacowanie na promień koła z dołu
możesz jedynie stwierdzić, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w to koło to co najmniej \(\displaystyle{ 1}\), ale stąd można otrzymać jedynie oszacowanie na promień koła z dołu
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Problem z trójkątami
Ale ja napisałem, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w to koło jest mniejsze niż \(\displaystyle{ 1}\), no bo tak wynika z założenia.timon92 pisze:karakuku, to jest niepoprawnie, skąd wiadomo, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w to koło wynosi \(\displaystyle{ 1}\)?
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1654
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Problem z trójkątami
nie wynika
powiedzmy, że dane punkty w zadaniu są wierzchołkami kwadratu o polu \(\displaystyle{ 2}\)
najmniejsze koło, które pokrywa te punkty, to koło opisane na tym kwadracie i ma ono promień \(\displaystyle{ 1}\)
trójkąt równoboczny wpisany w to koło ma pole \(\displaystyle{ \frac 34 \sqrt 3 > 1}\)
powiedzmy, że dane punkty w zadaniu są wierzchołkami kwadratu o polu \(\displaystyle{ 2}\)
najmniejsze koło, które pokrywa te punkty, to koło opisane na tym kwadracie i ma ono promień \(\displaystyle{ 1}\)
trójkąt równoboczny wpisany w to koło ma pole \(\displaystyle{ \frac 34 \sqrt 3 > 1}\)
- KrolKubaV
- Użytkownik
- Posty: 157
- Rejestracja: 10 wrz 2016, o 18:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 4 razy
Problem z trójkątami
timon92, jak te punkty beda leżały względem tego największego trojkata? Beda leżały wewnątrz niego? Raczej nie... Prosiłbym o jeszcze jedna wskazówkę.-- 21 lis 2016, o 20:49 --Ach, już mam! To było dość oczywiste zadanie...