Problem z trójkątami

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
KrolKubaV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 10 wrz 2016, o 18:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

Problem z trójkątami

Post autor: KrolKubaV »

Na płaszczyźnie jest \(\displaystyle{ n}\) punktów takich, że pole dowolnego trójkąta o wierzchołkach w tych punktach jest mniejsze niż 1. Uzasadnij, że wszytkie te punkty można pokryć trójkątem o polu 4. Czy ktos mógłby powiedziec od czego wyjsc?
karakuku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 60 razy

Problem z trójkątami

Post autor: karakuku »

Można zauważyć, że te wszystkie punkty leżą w jakimś kole. W to koło można wpisać trójkąt o maksymalnym polu mniejszym niż 1.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Problem z trójkątami

Post autor: timon92 »

karakuku, i co dalej?

KrolKubaV, wśród trójkątów, których wierzchołkami są dane punkty wybierz ten, który ma największe pole

dalej zastanów się, gdzie muszą leżeć pozostałe punkty
karakuku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 60 razy

Problem z trójkątami

Post autor: karakuku »

To jak mamy to koło o promieniu \(\displaystyle{ r}\), to maksymalny trójkąt, który się w nim zawiera jest wpisanym trójkątem równobocznym o boku \(\displaystyle{ a}\).

\(\displaystyle{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}<1 \Rightarrow a< \frac{2}{ \sqrt[4]{3} }}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}<\frac{2 \sqrt[4]{3} }{3}}\)

I teraz chcielibyśmy opisać na tym kole trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ b}\):

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \frac{b \sqrt{3} }{2}=r \Rightarrow b= \frac{6}{ \sqrt{3} } r= 2 \sqrt{3} r< \frac{4\sqrt{3} \sqrt[4]{3}}{3}}\)

Czyli pole tego trójkąta opisanego: \(\displaystyle{ P= \frac{b^2 \sqrt{3} }{4}< \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3} }{9 \cdot 4}=4}\) - a on pokrywa wsszystkie punkty
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Problem z trójkątami

Post autor: timon92 »

karakuku, to jest niepoprawnie, skąd wiadomo, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w to koło wynosi \(\displaystyle{ 1}\)?

możesz jedynie stwierdzić, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w to koło to co najmniej \(\displaystyle{ 1}\), ale stąd można otrzymać jedynie oszacowanie na promień koła z dołu
karakuku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 60 razy

Problem z trójkątami

Post autor: karakuku »

timon92 pisze:karakuku, to jest niepoprawnie, skąd wiadomo, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w to koło wynosi \(\displaystyle{ 1}\)?
Ale ja napisałem, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w to koło jest mniejsze niż \(\displaystyle{ 1}\), no bo tak wynika z założenia.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Problem z trójkątami

Post autor: timon92 »

nie wynika

powiedzmy, że dane punkty w zadaniu są wierzchołkami kwadratu o polu \(\displaystyle{ 2}\)

najmniejsze koło, które pokrywa te punkty, to koło opisane na tym kwadracie i ma ono promień \(\displaystyle{ 1}\)

trójkąt równoboczny wpisany w to koło ma pole \(\displaystyle{ \frac 34 \sqrt 3 > 1}\)
karakuku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 60 razy

Problem z trójkątami

Post autor: karakuku »

Tak, masz rację. Lipne jest to rozwiązanie.
Awatar użytkownika
KrolKubaV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 10 wrz 2016, o 18:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

Problem z trójkątami

Post autor: KrolKubaV »

timon92, jak te punkty beda leżały względem tego największego trojkata? Beda leżały wewnątrz niego? Raczej nie... Prosiłbym o jeszcze jedna wskazówkę.-- 21 lis 2016, o 20:49 --Ach, już mam! To było dość oczywiste zadanie...
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Problem z trójkątami

Post autor: dec1 »

To zadanie o dziwo pojawiło się na tegorocznym Putnamie.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Problem z trójkątami

Post autor: arek1357 »

Bardzo fajne to zadanie mi się podoba ... będę je zadawał kolegom na imprezie...

Mało jest fajnych rzeczy a to jest szczególne.
ODPOWIEDZ