Podstawy trapezu

[ytnemudkod]

Cześć, mam problem wzięty z życia, otóż rodzice chcieli zrobić palenisko obok domu. Wszystko było pięknie dopóki okazało się, iż "fachowcy" nie wiedzą jak wyliczyć podstawy kostki w kształcie przyjmijmy trapezu równoramiennego.
Palenisko wygląda w taki sposób:
Okrąg zewnętrzny=\(\displaystyle{ d_z=118cm}\)
Okrąg wewnętrzny=\(\displaystyle{ d_w=62cm}\)
Okręgi mają ten sam środek.
Wysokość trapezu=\(\displaystyle{ h_t=28cm}\)
Ilość kostek= 22
Ktoś ma pomysł jak podejść do tego zadania?
Ja przyjąłem np taką kostkę o kącie ostrym 30 stopni. Wtedy wyliczyłem pole całego okręgu, pole wewnętrznego okręgu, odjąłem, otrzymane pole to pole stworzone wyłącznie z kostek. Teraz korzystając z tego, iż pole kostki=\(\displaystyle{ ({3a^2 \sqrt{3} })/4}\) pomnożyłem wynik przez 22 jako ilość kostek i puff..
Czy tak mogę zrobić, kolejne pytanie czy takie kąty będą odpowiednie aby ładnie zrobić okrąg z kostki o kształcie trapezu prostokątnego?

[kinia7]

Ten trapez powinien mieć podstawy \(\displaystyle{ 8,9\ cm}\) i \(\displaystyle{ 17\ cm}\) oraz wysokość \(\displaystyle{ 28\ cm}\); (kąty przy dłuższej podstawie \(\displaystyle{ \approx 81,8^{\circ}}\))

[ytnemudkod]

A mogłabyś mi powiedzieć jak zrobiłaś to zadanie?

[kinia7]

\(\displaystyle{ a=\frac{\pi d_z}{22}=\frac{\pi\cdot118}{22} \approx 17}\)

\(\displaystyle{ b=\frac{\pi d_w}{22}=\frac{\pi\cdot62}{22} \approx 8,9}\)

\(\displaystyle{ \alpha =\arctg\frac{2h}{a-b}=\arctg\frac{2\cdot28}{17-8,9} \approx 81,8^{\circ}}\)

[SlotaWoj]

Nieco dokładniej będzie tak:

• \(\displaystyle{ a=d_z\sin\frac{\pi}{22}=16,8\text{ cm} \\
  b=d_w\sin\frac{\pi}{22}=8,8 \text{ cm}\\
  \alpha=90^\circ-\frac{180^\circ}{22}=81,8^\circ}\)

\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są długościami boków 22-kątów foremnych wpisanych w okręgi o średnicach \(\displaystyle{ d_z}\) i \(\displaystyle{ d_w}\) .

[kinia7]

Nieco dokładniej będzie tak:

• \(\displaystyle{ a=16,8\text{ cm} \\
  b=8,8 \text{ cm}\\
  \alpha=81,8^\circ}\)

Ale w takim przypadku będzie \(\displaystyle{ h_t=27,7\text{ cm} \neq 28\text{ cm}}\)

[SlotaWoj]

Kinia7 uprzednio założyła, że podstawy trapezu będą równe długościom łuków okręgów o średnicach \(\displaystyle{ d_z}\) i \(\displaystyle{ d_w}\), na których został opisany 22-kąt foremny, równe:

• \(\displaystyle{ a=\frac{\pi d_z}{22}=16,8503606\text{ cm} \\
  b=\frac{\pi d_w}{22}=8,85357930\text{ cm}}\)

podczas gdy, długości boków takiego trapezu równoramiennego są równe:

• \(\displaystyle{ a=d_z\tg\frac{\pi}{22}=16,9658387\text{ cm} \\
  b=d_z\tg\frac{\pi}{22}=8,91425423\text{ cm}}\)

Różnice w ww. wartościach nie są duże (ok. \(\displaystyle{ 0,69\%}\)), ale byłyby znacznie większe gdyby obudowa paleniska składała się mniejszej liczby, ale „dłuższych” trapezowych kostek, (dla \(\displaystyle{ 13.}\) wynosiłaby ok. \(\displaystyle{ 2\%}\)).

Ja przeoczyłem wymagania co do wysokości trapezu \(\displaystyle{ =28\text{ cm}}\) i zaproponowałem, aby wielokąty foremne były wpisane w okręgi o wymaganych średnicach. Podałem długości boków trapezu

• \(\displaystyle{ a=16,7931509\text{ cm} \\
  b=8,82351997\text{ cm}}\)

ale wówczas rzeczywiście wysokość trapezu jest inna niż wymagana (wynosi \(\displaystyle{ 27,7150004\text{ cm}}\)).

Jest jeszcze inny błąd mojego i Kini7 podejścia do zagadnienia.
W parach okręgów wpisanych (czy też opisanych) na odpowiednich 22-kątach foremnych zawsze jeden jest złym ograniczeniem paleniska, które trzeba zaprojektować. Dlatego należałoby założyć, że kostki są częściami różnicy 22-kątów foremnych, z których zewnętrzny jest wpisany w okrąg o średnicy \(\displaystyle{ d_z}\), a wewnętrzny opisany na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ d_w}\). Oczywiście, również w tym przypadku wysokość kostki \(\displaystyle{ h}\) będzie różna od \(\displaystyle{ 28\text{ cm}}\), ale z trzech z wymienionych tu danych jedna jest zależna od dwóch pozostałych i nie można nadawać jej wartości „a priori”.

W tym ostatnim przypadku byłoby:

• \(\displaystyle{ a=d_z\sin\frac{\pi}{22}=16,7931509\text{ cm} \\
  b=d_z\tg\frac{\pi}{22}=8,91425423\text{ cm} \\
  h=\frac{a-b}{2\tg\frac{\pi}{22}}=27,3994651\text{ cm}\neq28\text{ cm}}\)

[kinia7]

Żeby zachować dane \(\displaystyle{ h=28\text{ cm}}\) i średnice \(\displaystyle{ d_z=118\text{ cm}}\) i \(\displaystyle{ d_w=62\text{ cm}}\)
trzeba, by oba 22-kąty foremne były opisane na okręgach,
wówczas wymiary trapezu:
\(\displaystyle{ h=28\text{ cm}\ \ \ \ a=16,96584 \text{ cm}\ \ \ \ b=8,91425\text{ cm}}\)