Długość ramion - okrąg wpisany w trójkąt

[GeneralXavi]

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie 4cm i okrąg, który jest wpisany w ten trójkąt i ma promień o długości 1cm. Chcę obliczyć długość ramion tego trójkąta.

jako a oznaczyłem ramiona

Skorzystałem najpierw ze wzoru: \(\displaystyle{ P= \frac{a+b+c}{2} \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{2a+4}{2}\cdot 1}\)
\(\displaystyle{ P = a + 2}\)

Potem obliczyłem H z podstawowego wzoru na trójkąt
\(\displaystyle{ P = \frac{\text{podstawa }\cdot h}{2} = \frac{4\cdot h}{2} = 2h}\)

Czyli
\(\displaystyle{ 2h = a + 2}\)

Podzieliłem swój trójkąt na połowę i zapisałem:
\(\displaystyle{ 2^{2} + h^{2} = a^{2}}\)


I zapisałem teraz to do układu równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2h=a+2\\a^{2}=4+h^{2} \end{array}}\)

Podstawiłem pod pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ 2h = \sqrt{4 + h^{2}} +2}\)
\(\displaystyle{ h = 4}\)

Jednak jeśli h mi wychodzi 4, to ramię będzie \(\displaystyle{ \sqrt{20}}\), a niestety nie zgadza się to z odpowiedzią w podręczniku: \(\displaystyle{ 3\frac{1}{3}}\)

Bardzo proszę o pomoc.

[mortan517]

Błąd popełniasz w momencie rozwiązywania układu równań. Wysokość nie jest równa \(\displaystyle{ 4}\).

[GeneralXavi]

Błąd popełniasz w momencie rozwiązywania układu równań. Wysokość nie jest równa \(\displaystyle{ 4}\).

Hmm

To pozwól, że rozwinę swoje obliczenia, a Ty mi wskażesz błąd?


\(\displaystyle{ 2h = \sqrt{4 + h^{2}} +2}\)
\(\displaystyle{ 2h = 2 + h +2}\) - przerzucam h na lewą stornę
\(\displaystyle{ h = 2+ 2}\)
\(\displaystyle{ h = 4}\)

[cosinus90]

\(\displaystyle{ \sqrt{4 + h^{2}}}\) nie równa się \(\displaystyle{ 2+h}\), nie wolno pierwiastkować w ten sposób. Musisz zostawić pierwiastek po jednej stronie równania, wszystko inne przerzuć na drugą stronę i podnieść stronami do kwadratu.

[mortan517]

\(\displaystyle{ \sqrt{4+h^2} \neq 2+h}\)
A skąd takie cuda się tu wzięły?

[GeneralXavi]

\(\displaystyle{ \sqrt{4 + h^{2}}}\) nie równa się \(\displaystyle{ 2+h}\), nie wolno pierwiastkować w ten sposób. Musisz zostawić pierwiastek po jednej stronie równania, wszystko inne przerzuć na drugą stronę i podnieść stronami do kwadratu.

Faktycznie, dziękuję. VeB

\(\displaystyle{ \sqrt{4+h^2} \neq 2+h}\)
A skąd takie cuda się tu wzięły?

W gimnazjum mnie nie było na lekcjach z pierwiastkami i od tej pory jak widzę zadanie z pierwiastkami, to mnie głowa boli. xD W każdym razie dzięki, zapamiętam.

[mortan517]

Zawsze obok gdzieś możesz na szybko to sprawdzić czy \(\displaystyle{ \sqrt{4+1} \neq 2+1}\).
Mogłeś uniknąć pierwiastka licząc od razu długość ramienia.

\(\displaystyle{ \begin{cases} h=\frac{a+2}{2} \\ a^2=4+\left(\frac{a+2}{2} \right)^2 \end{cases}}\)

[Ania221]

\(\displaystyle{ P =\frac{1}{2} r(b+2a)}\) gdzie \(\displaystyle{ b}\)-podstawa trojkata, \(\displaystyle{ a}\)-ramię trojkata

\(\displaystyle{ P=a+2}\)

Ze wzoru Herona

\(\displaystyle{ P= \sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)} = \sqrt{(a+2) \cdot 2 \cdot 2(a-2)}}\) gdzie \(\displaystyle{ p= \frac{obwod}{2}}\)

\(\displaystyle{ (a+2)= \sqrt{(a+2)(a-2) \cdot 4}}\)

\(\displaystyle{ (a+2)^2=(a+2)(a-2) \cdot 4}\)

Poskróceniu jednego nawiasu

\(\displaystyle{ a+2=4a-8}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{10}{3}}\)