Okręgi, dwie nierówności, twierdzenie o trójliściu

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
I_Have_No_Pomysl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 4 sie 2016, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Okręgi, dwie nierówności, twierdzenie o trójliściu

Post autor: I_Have_No_Pomysl »

Witam mam problem z tymi kilkoma zadaniami. Są one zakończeniem działu 1. w książce ,,Planimetria" Neugebauera.

1.106 Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC, \ CA, \ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ X, \ Y, \ Z}\). Punkty \(\displaystyle{ M, \ N, \ J}\) są środkami okręgów wpisanych w trójkąty odpowiednio \(\displaystyle{ AYZ, \ BXZ, \ XYZ}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ Z}\) i \(\displaystyle{ J}\) są symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ MN}\).

1.110 Udowodnić, że średnia arytmetyczna długości boków n-kąta wypukłego jest mniejsza od średniej arytmetycznej długości wszystkich jego przekątnych.

1.111 Punkty \(\displaystyle{ A, \ B, \ C}\) leżą w równoległoboku. Udowodnić, że pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest nie większe niż połowa pola tego równoległoboku.

1.115 Okręgi \(\displaystyle{ K_{1}, \ K_{2}}\) o środkach odpowiednio \(\displaystyle{ O_{1}, \ O_{2}}\) przecinają się w różnych punktach \(\displaystyle{ A, \ B}\) przy czym kąt \(\displaystyle{ O_{1}AO_{2}}\) jest rozwarty. Prosta \(\displaystyle{ O_{1}B}\) przecina okrag \(\displaystyle{ K_{2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\) różnym od \(\displaystyle{ B}\), a prosta \(\displaystyle{ O_{2}B}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ K_{1}}\) w \(\displaystyle{ D}\) różnym od \(\displaystyle{ B}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ B}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ACD}\)

Co do 1.115 to wykazanie cykliczności \(\displaystyle{ CDO_{1}O_{2}}\) zakończy zadanie ale mam problem z pokazaniem tej cykliczności :/

Z góry dziękuję za podpowiedzi/rozwiązania.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Okręgi, dwie nierówności, twierdzenie o trójliściu

Post autor: karolex123 »

Zadanie 1.106
Można udowodnić, że okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\). Istotnie- niech \(\displaystyle{ \left| \angle BAC\right|= \alpha}\), \(\displaystyle{ \left| \angle ABC\right| = \beta}\) oraz niech \(\displaystyle{ \left| \angle ACB\right|= \gamma}\). Można policzyć, że \(\displaystyle{ \left| \angle ZMY\right|=90 ^{\circ} + \frac{\alpha}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \angle YXZ\right|=90 ^{\circ} - \frac{\alpha}{2}}\), więc punkty \(\displaystyle{ M, Z, X, Y}\) leżą na jednym okręgu. Podobnie dowodzimy dla punktu \(\displaystyle{ N}\). Teraz zauważmy, że odcinek \(\displaystyle{ XM}\) zawiera się w dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ ZXY}\), gdyż \(\displaystyle{ \left| MY\right|=\left| MZ\right|}\). Stąd wnioskujemy, że punkt \(\displaystyle{ J}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ XM}\). Z twierdzenia o trójliściu mamy więc \(\displaystyle{ \left| JM\right| =\left| ZM\right|}\). Podobnie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \left| JN\right|=\left| ZN\right|}\), więc punkty \(\displaystyle{ J}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ MN}\).
Zadanie 1.115
Wskazówka - pokaż, że na czworokątach \(\displaystyle{ O _{1}DO _{2}A}\) i \(\displaystyle{ CO _{2}AO _{1}}\) można opisać okręgi. Co z tego wynika?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Okręgi, dwie nierówności, twierdzenie o trójliściu

Post autor: Kartezjusz »

1.111
1. Zauważ, kiedy mamy równość
2. Pokaż, poprzez odcinanie prostymi równoległymi do boków wystarczy pokazać nierówność dla trzech punktów, każdy na innym boku, a trzeci na wierzchołku nienależącym do tych dwóch boków
ODPOWIEDZ