Witam mam problem z tymi kilkoma zadaniami. Są one zakończeniem działu 1. w książce ,,Planimetria" Neugebauera.
1.106 Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC, \ CA, \ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ X, \ Y, \ Z}\). Punkty \(\displaystyle{ M, \ N, \ J}\) są środkami okręgów wpisanych w trójkąty odpowiednio \(\displaystyle{ AYZ, \ BXZ, \ XYZ}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ Z}\) i \(\displaystyle{ J}\) są symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ MN}\).
1.110 Udowodnić, że średnia arytmetyczna długości boków n-kąta wypukłego jest mniejsza od średniej arytmetycznej długości wszystkich jego przekątnych.
1.111 Punkty \(\displaystyle{ A, \ B, \ C}\) leżą w równoległoboku. Udowodnić, że pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest nie większe niż połowa pola tego równoległoboku.
1.115 Okręgi \(\displaystyle{ K_{1}, \ K_{2}}\) o środkach odpowiednio \(\displaystyle{ O_{1}, \ O_{2}}\) przecinają się w różnych punktach \(\displaystyle{ A, \ B}\) przy czym kąt \(\displaystyle{ O_{1}AO_{2}}\) jest rozwarty. Prosta \(\displaystyle{ O_{1}B}\) przecina okrag \(\displaystyle{ K_{2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\) różnym od \(\displaystyle{ B}\), a prosta \(\displaystyle{ O_{2}B}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ K_{1}}\) w \(\displaystyle{ D}\) różnym od \(\displaystyle{ B}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ B}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ACD}\)
Co do 1.115 to wykazanie cykliczności \(\displaystyle{ CDO_{1}O_{2}}\) zakończy zadanie ale mam problem z pokazaniem tej cykliczności :/
Z góry dziękuję za podpowiedzi/rozwiązania.
Okręgi, dwie nierówności, twierdzenie o trójliściu
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 4 sie 2016, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Okręgi, dwie nierówności, twierdzenie o trójliściu
Zadanie 1.106
Można udowodnić, że okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\). Istotnie- niech \(\displaystyle{ \left| \angle BAC\right|= \alpha}\), \(\displaystyle{ \left| \angle ABC\right| = \beta}\) oraz niech \(\displaystyle{ \left| \angle ACB\right|= \gamma}\). Można policzyć, że \(\displaystyle{ \left| \angle ZMY\right|=90 ^{\circ} + \frac{\alpha}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \angle YXZ\right|=90 ^{\circ} - \frac{\alpha}{2}}\), więc punkty \(\displaystyle{ M, Z, X, Y}\) leżą na jednym okręgu. Podobnie dowodzimy dla punktu \(\displaystyle{ N}\). Teraz zauważmy, że odcinek \(\displaystyle{ XM}\) zawiera się w dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ ZXY}\), gdyż \(\displaystyle{ \left| MY\right|=\left| MZ\right|}\). Stąd wnioskujemy, że punkt \(\displaystyle{ J}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ XM}\). Z twierdzenia o trójliściu mamy więc \(\displaystyle{ \left| JM\right| =\left| ZM\right|}\). Podobnie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \left| JN\right|=\left| ZN\right|}\), więc punkty \(\displaystyle{ J}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ MN}\).
Zadanie 1.115
Wskazówka - pokaż, że na czworokątach \(\displaystyle{ O _{1}DO _{2}A}\) i \(\displaystyle{ CO _{2}AO _{1}}\) można opisać okręgi. Co z tego wynika?
Można udowodnić, że okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\). Istotnie- niech \(\displaystyle{ \left| \angle BAC\right|= \alpha}\), \(\displaystyle{ \left| \angle ABC\right| = \beta}\) oraz niech \(\displaystyle{ \left| \angle ACB\right|= \gamma}\). Można policzyć, że \(\displaystyle{ \left| \angle ZMY\right|=90 ^{\circ} + \frac{\alpha}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \angle YXZ\right|=90 ^{\circ} - \frac{\alpha}{2}}\), więc punkty \(\displaystyle{ M, Z, X, Y}\) leżą na jednym okręgu. Podobnie dowodzimy dla punktu \(\displaystyle{ N}\). Teraz zauważmy, że odcinek \(\displaystyle{ XM}\) zawiera się w dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ ZXY}\), gdyż \(\displaystyle{ \left| MY\right|=\left| MZ\right|}\). Stąd wnioskujemy, że punkt \(\displaystyle{ J}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ XM}\). Z twierdzenia o trójliściu mamy więc \(\displaystyle{ \left| JM\right| =\left| ZM\right|}\). Podobnie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \left| JN\right|=\left| ZN\right|}\), więc punkty \(\displaystyle{ J}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ MN}\).
Zadanie 1.115
Wskazówka - pokaż, że na czworokątach \(\displaystyle{ O _{1}DO _{2}A}\) i \(\displaystyle{ CO _{2}AO _{1}}\) można opisać okręgi. Co z tego wynika?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Okręgi, dwie nierówności, twierdzenie o trójliściu
1.111
1. Zauważ, kiedy mamy równość
2. Pokaż, poprzez odcinanie prostymi równoległymi do boków wystarczy pokazać nierówność dla trzech punktów, każdy na innym boku, a trzeci na wierzchołku nienależącym do tych dwóch boków
1. Zauważ, kiedy mamy równość
2. Pokaż, poprzez odcinanie prostymi równoległymi do boków wystarczy pokazać nierówność dla trzech punktów, każdy na innym boku, a trzeci na wierzchołku nienależącym do tych dwóch boków