Matematyka.pl

Na trójkącie ABC o polu 8 opisano okrąg.Z punktu P leżącego na półprostej BA poprowadzono styczną do okręgu w punkcie C. Oblicz długości odcinków AB i PB jeżeli |PC| =4 oraz sinus kąta APC jest równy \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

Zapisz pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jako \(\displaystyle{ P_{ABC} = \frac{ 4 \left| PB \right| \sin \alpha }{2} - \frac{ 4 \left| PA \right| \sin \alpha }{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt \(\displaystyle{ APC}\) i skorzystaj z twierdzenia o siecznej i stycznej.

Nie wychodzi mi. Po pierwsze od tego dużego pola trzeba odjąć to małe aby dostać pole trójkąta ABC. Wtedy AB jest równe 3 a PB wychodzi z pierwiastkami. W odpowiedziach natomaist jest AB= 6 oraz PB=8 którenie spełniają nawet podstawowego równania \(\displaystyle{ |PB|(|PB|+|AB|)=4^2=16}\). O co chodzi?

Można szybciej. Proponuję poprowadzić wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\). Można policzyć jej długość znając wartości \(\displaystyle{ \left| PC\right|}\) oraz \(\displaystyle{ \sin \angle APC}\). Potem już łatwo znając pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) policzyć długość podstawy \(\displaystyle{ AB}\). Potem już z twierdzenia o stycznej i siecznej

No ale wówczas \(\displaystyle{ AB = 6}\) , \(\displaystyle{ |PB|= \frac{8}{3}}\) i odpowiedzi z książki są błędne. Czy mam rację?

Z moich rachunków wynika, że \(\displaystyle{ \left| PB\right|=8}\). Co więcej odpowiedź \(\displaystyle{ \left| PB\right| = \frac{8}{3}}\) nie ma sensu- wtedy bowiem \(\displaystyle{ \left| PB\right|<\left| AB\right|}\), skąd wniosek, że punkt \(\displaystyle{ P}\) leżałby na odcinku \(\displaystyle{ AB}\) (punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na półprostej \(\displaystyle{ BA}\)), w szczególności wewnątrz okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Z takiego punktu oczywiście nie można poprowadzić stycznej do ów okręgu- sprzeczność. A taka sobie, ot, weryfikacja odpowiedzi

Ależ z tego równania na pole, które podałem w swoim poście, wprost wynika, że \(\displaystyle{ \left| AB\right| = 6}\), gdyż podstawiając do niego wartości liczbowe mamy \(\displaystyle{ 6 = \left| PB\right| - \left| PA\right|}\), a prawa strona równania to nic innego, jak długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\).

To, że \(\displaystyle{ \left| AB\right| =6}\) jest prawdą. Zatem:
\(\displaystyle{ 4 ^{2} =\left| PB\right| \cdot \left( \left| PB\right|-6 \right)}\) skąd \(\displaystyle{ \left| PB\right| =8}\). Ponadto wyżej udowodniłem, że odpowiedź że \(\displaystyle{ \left| PB\right|= \frac{8}{3}}\) prowadzi do sprzeczności.

Już wszystko kumam. Ja sobie rysowałem punkt P na półprostej AB anie BA dlatego mi się nie zgadzało. Jeszcze raz dziękuję.