Pięciokąty w kwadracie

[kinia7]

W kwadracie o boku 10 znajduje się foremny pięciokąt, którego wierzchołki leżą na co najmniej trzech krawędziach kwadratu. Biorąc pod uwagę wszystkie możliwe położenia i wielkości pięciokąta, oblicz jaka część kwadratu nigdy nie zostanie zakryta.

[PiotrowskiW]

Niech a oznacza nieznaną długość boku pięciokąta foremnego. Wówczas najmniejsza możliwa długość boku kwadratu zawierającego ten wyraża się wzorem \(\displaystyle{ A= \frac{ \sqrt{5}+1 }{2} \cdot a}\) Dlaczego? odsyłam tutaj: [ciach] Mamy zatem \(\displaystyle{ A= 10}\). Wyliczamy z tego małe a, potem korzystamy z gotowego wzoru na pole pięciokąta foremnego i wykonujemy odejmowanie. Tak ja bym to widział. Oczywiście trzeba uzasadnić, ze to co ja napisałem to odpowiedź do tego zadania albo dlaczego to jest źle

[kinia7]

czyli wg Ciebie \(\displaystyle{ \left( \frac{A}{a} \right)_{min} \approx 1,61803}\)

mnie wychodzi \(\displaystyle{ \left( \frac{A}{a} \right)_{min} \approx 1,59811}\)-- 6 sie 2016, o 13:34 --poza tym nie wystarczy odjąć pole pięciokąta od pola kwadratu, gdyż pięciokąt można cztery razy "przestawić " i za każdym razem zakryje część pola kwadratu niezakrytą w pierwszym położeniu

[pesel]

Biorąc pod uwagę wszystkie możliwe położenia i wielkości pięciokąta

poza tym nie wystarczy odjąć pole pięciokąta od pola kwadratu, gdyż pięciokąt można cztery razy "przestawić " i za każdym razem zakryje część pola kwadratu niezakrytą w pierwszym położeniu

Wybieram baaaaaardzooooooooooo mały "pięciokącik" i pokrywam nim cały kwadrat przesuwając go po całym kwadracie.

[kinia7]

Wybieram baaaaaardzooooooooooo mały "pięciokącik" i pokrywam nim cały kwadrat przesuwając go po całym kwadracie.

wg mnie to jest niemożliwe; zawsze będą baaaaaardzooooooooooo małe narożniki niezakryte

[PiotrowskiW]

poza tym nie wystarczy odjąć pole pięciokąta od pola kwadratu, gdyż pięciokąt można cztery razy "przestawić " i za każdym razem zakryje część pola kwadratu niezakrytą w pierwszym położeniu

w takim razie inaczej rozumiem treść zadania; wówczas zgadzam się zupełnie z peselem.

Poza tym proszę mi wyjaśnić jak udało ci się wstawić pięciokąt, którego przekątna jest większa od boku kwadratu, w ten kwadrat. Nie umiem sobie tego wyobrazić.

[kinia7]

w takim razie inaczej rozumiem treść zadania; wówczas zgadzam się zupełnie z peselem.

pesel "pszekąbinował", bo nie da się pokryć całego kwadratu
poza tym jego pomysł nie pasuje już do poprawionej treści zadania

Poza tym proszę mi wyjaśnić jak udało ci się wstawić pięciokąt, którego przekątna jest większa od boku kwadratu, w ten kwadrat. Nie umiem sobie tego wyobrazić.

przekątna pięciokąta jest ociupinę nierównoległa do boku kwadratu

[piasek101]

Pięciokąt ma być jeden (największy lub najmniejszy z możliwych) - treść ,,foremny pięciokąt".

[kinia7]

Biorąc pod uwagę wszystkie możliwe położenia i wielkości pięciokąta

ja to rozumiem tak, że pięciokąt można dowolnie zmieniać i przesuwać tak, żeby "pokryć" jak największą część kwadratu
a obliczyć trzeba pole tych części kwadratu, których nie da się zakryć

[piasek101]

Ale (wg mnie) chodzi o znalezienie najmniejszego i (chociaż niejednoczesne) największego możliwego (spełniającego warunki zadania).
Oczywiście, że możemy ustawiać szukane pięciokąty jak chcemy (warunki zadania) - ale mamy podać te dwa skrajne - możliwie z uzasadnieniem.

[kinia7]

Ale (wg mnie) chodzi o znalezienie najmniejszego i (chociaż niejednoczesne) największego możliwego (spełniającego warunki zadania).

to akurat nie jest trudne
najmniejszy pięciokąt ma przekątną równą bokowi kwadratu
największy pięciokąt ma bok \(\displaystyle{ =10\sqrt{2\left(4-\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right)}}\)

[kerajs]

Może pomocne będą obrazki

1) \(\displaystyle{ a \approx 6,2574}\)

2.png (5 KiB) Przejrzano 444 razy

2) \(\displaystyle{ a \approx 6,18}\)

3.png (5.03 KiB) Przejrzano 444 razy

5.png (12.96 KiB) Przejrzano 444 razy

6.png (11.98 KiB) Przejrzano 444 razy

7.png (21.31 KiB) Przejrzano 444 razy

Szukane pole będzie trójkątami krzywoliniowymi w czterech rogach kwadratu (wygląda na to że łuki będą tam wypukłe).

Niestety nie wiem jak określić łuki domykające trójkąty i w konsekwencji policzyć szukane pola. Może wystarczy Ci wartość przybliżona?

[kinia7]

Szukane pole będzie trójkątami krzywoliniowymi w czterech rogach kwadratu (wygląda na to że łuki będą tam wypukłe).

Niestety nie wiem jak określić łuki domykające trójkąty i w konsekwencji policzyć szukane pola. Może wystarczy Ci wartość przybliżona?

nie wiem czy wystarczy wartość przybliżona, bo myślę że główny problem polega właśnie na zdefiniowaniu tych łuków

[kerajs]

Powiększę lewy dolny róg zostawiając tylko wierzchołki pentagonów (niebieskie kropki):

1.png (3.85 KiB) Przejrzano 444 razy

Pytałem o rozwiązanie przybliżone bo wierzchołek widoczny na rysunku leży bardzo blisko boku trójkąta (czerwona przerywana linia)



Bok pięciokąta określa wzór:
\(\displaystyle{ a= \frac{10}{\cos (72^o+\beta)+\cos \beta+\cos (72^o+\beta )}}\) dla \(\displaystyle{ \beta \in \left\langle 0^o;9^o\right\rangle}\)
gdzie beta to kąt między bokiem pentagonu a bokiem kwadratu zawierającym koniec tego boku pentagonu.

Przyjmując że kwadrat jest umieszczony w układzie współrzędnych jak na rysunku (czyli wierzchołek jest
w (0,0) to krzywa wyznaczona przez wierzchołki pentagonu łącząca dolny niebieski wierzchołek ze środkowym ma równanie parametryczne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{10 \cos (72^o+\beta)}{\cos (72^o+\beta)+\cos \beta+\cos (72^o+\beta )} \\ y= \frac{10 \sin \beta}{\cos (72^o+\beta)+\cos \beta+\cos (72^o+\beta )} \end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ \beta \in \left\langle 0^o;9^o\right\rangle}\)

Pomoże Ci to w policzeniu pola?

[kinia7]

`
Na innym forum bb314 (piasek101, pamiętasz ją?) podała wynik:

[link wygasł]

\(\displaystyle{ P_{AEF}=\frac{25}{4}\left(3-\sqrt5\right)\left(4-\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\right)}\)