Tw. Archimedesa, punkt leżący na prostej, kąt prosty

[I_Have_No_Pomysl]

Witam. Mam problem z tymi trzema zadankami. Pochodzą z książki Adama Neugebauera ,,Planimetria".

Ćw. 1.57
Niech punkt \(\displaystyle{ X}\) będzie środkiem łuku \(\displaystyle{ \widehat{ACB}}\) okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) gdzie \(\displaystyle{ |AC|<|BC|}\). Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ K}\) jest rzutem punktu \(\displaystyle{ X}\) na bok \(\displaystyle{ BC}\) to \(\displaystyle{ |AC|+|CK|=|KB|}\). (Twierdzenie Archimedesa)

Ćw. 1.65
Niech \(\displaystyle{ S, \ T, \ U}\) będą punktami styczności okręgu wpisanego w dany trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) z bokami odpowiednio \(\displaystyle{ BC, \ CA, \ AB}\). Udowodnić, że rzut wierzchołka \(\displaystyle{ B}\) na dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle A}\) leży na prostej \(\displaystyle{ ST}\).

Ćw. 1.68
Dane są cztery punkty \(\displaystyle{ A, \ B, \ C, \ D}\) (w tej kolejności) leżące na okręgu. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie środkiem łuku \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ U}\) środkiem łuku \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ T}\) środkiem łuku \(\displaystyle{ CD}\), \(\displaystyle{ V}\) środkiem łuku \(\displaystyle{ DA}\) tego okręgu. Udowodnić, że odcinki \(\displaystyle{ ST}\) i \(\displaystyle{ UV}\) są prostopadłe.


Co ja zrobiłem:
Ćw 1.57 Nie wiem jak zacząć .
Ćw 1.65 Zauważyłem okrąg na punktach \(\displaystyle{ S, \ B', \ I, \ U, \ B}\) (gdzie \(\displaystyle{ B'}\) jest omawianym rzutem, a \(\displaystyle{ I}\) środkiem okręgu wpisanego), jednak nie potrafię dalej ruszyć czegokolwiek.
Ćw 1.68 Rozpisałem parę kątów, jednak niezbyt wiele to dało (jedyne co, to zamazany rysunek).

Z góry dziękuję za podpowiedzi/rozwiązania.
Dodam jeszcze, że asem z geometrii nie jestem, ale chcę się podszkolić.

[timon92]

1.57 spróbuj odłożyć na odcinku \(\displaystyle{ BK}\) odcinek długości \(\displaystyle{ CK}\)


1.65 bardzo dobra obserwacja, spróbuj teraz obliczyć miarę kąta \(\displaystyle{ TB'S}\) korzystając z tego okręgu; może przydać się fakt, że \(\displaystyle{ T, U}\) są symetryczne względem \(\displaystyle{ AB'}\)


1.68 rozpisanie wszystkich kątów jakie istnieją powinno doprowadzić do celu

ale jeśli nie chcesz się za dużo naliczyć, to zastanów się, czy kąt między cięciwami można jakoś wyrazić w zależności od kątów opartych na niektórych łukach tego okręgu

[I_Have_No_Pomysl]

To drugie zadanko mi poszło. Nad pozostałymi pomyślę jutro. Dzięki za podpowiedź, bo do tej pory nie robiłem dużo zadań, w których miałem udowodnić wspołiniowość.

Uwaga spoiler/podpowiedź:

Ukryta treść:    

W sumie to długo gapiłem się na kąty, by dowieść, że miara \(\displaystyle{ \angle TB'S=180}\), a wystarczyło zauważyć łuki równej długości (oparte na cięciwach o długości \(\displaystyle{ r}\))

-- 10 sie 2016, o 18:54 --

Jednak nie dałem rady zadań 1.57 i 1.68. Długo nad nimi siedziałem i po prostu nie widzę tego, co pewnie kończy zadania. Co do 1.57 - nie potrafię udowodnić równości kątów, które kończyłyby mi zadanie. (Te oparte na tym samym łuku oczywiście są równe, mam jeden bok wspólny, ale brakuje kąta jeszcze jednego do przystawania)-- 11 sie 2016, o 11:37 --Archimedes zrobiony

[I_Have_No_Pomysl]

Wszystko poszło