Pięciokąt z prostokąta

[kinia7]

Z prostokątnej kartki wykonano pięciokąt foremny w następujący sposób:
Załamano kartkę tak, by połączyły się ze sobą jej najbardziej oddalone wierzchołki. Otrzymany w ten sposób pięciokąt nieforemny zagięto tak, by najmniejsze jego boki pokryły się z osią symetrii tegoż pięciokąta i otrzymano pięciokąt foremny.
Oblicz stosunek boków kartki.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{2+2\cos 72^o -\sin 54^o}{2\sin 72^o +\cos 54^o} \approx 0,7265}\)

[kinia7]

Z czego to wynika?

[SlotaWoj]

Lub prościej:

• \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\tg36^\circ}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(0,9.045)--(12.449,9.045)--(12.449,0)--cycle;
\draw[blue] (0,0)--(0,5)--(4.755,6.545)--(7.694,2.5)--(4.755,-1.545)--cycle;
\draw[blue,dashed] (0,6.545)--(7.694,6.545);
\draw[blue,dashed](7.694,2.5)--(12.449,2.5);
\draw[blue,dashed](7.694,0)--(7.694,9.045);
\draw[blue] (4.755,6.545)--(7.694,2.5)--(12.449,4.045)--(12.449,9.045)--(7.694,10.59)--cycle;
\draw[red] (0,0)--(6.225,0)--(6.225,4.523)--cycle;
\draw[red,dashed] (0,4.523)--(12.449,4.523);
\draw[red,dashed] (6.225,4.523)--(6.225,9.045);
\end{tikzpicture}}\)

Kąt między bokami pentagonu to 108 stopni.

Moje rozwiązanie to niebieskie linie. Boki prostokąta składałem z kawałków stosując pomocnicze przerywane linie.

SlotaWoj podał szybkie, elegancko proste rozwiązanie (czerwone).