Obliczanie pola sześciokąta wpisanego w trójkąt równoboczny

[twnt22]

Zadanie pochodzi z pierwszego numeru Kwadratu z OMG

Zadanie 5.
Z trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ 1}\) odcięto trzy narożne trójkąty równoboczne o bokach długości \(\displaystyle{ a,b,c}\) otrzymując sześciokąt równokątny.
a) Oblicz długość boku trójkąta równobocznego wyznaczonego przez trzy boki sześciokąta, które nie
leżą na bokach danego trójkąta równobocznego.
b) Oblicz pole tego sześciokąta.
c) Wykaż, że suma długości jego głównych przekątnych jest nie mniejsza od \(\displaystyle{ 3-(a+b+c)}\) (w sześciokącie \(\displaystyle{ ABCD{}EF}\) główne przekątne to \(\displaystyle{ AD,BE}\) i \(\displaystyle{ CF}\)).

Jest to zadanie piąte. Tak jak polecenia podpunktu a nie rozumiem, to chciałem zrobić podpunkt b:
Obliczyłem pole dużego trójkąta (którego bok ma długość 1) wzorem: \(\displaystyle{ \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}}\)
Wynik wyszedł \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \sqrt{3}}\)

Następnie obliczyłem pole małego trójkąta:
Według mnie długość boku to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
Przez co wynik obliczania pola trójkąta to \(\displaystyle{ \frac{1}{36} \sqrt{3}}\)

Dalej już obliczałem pole sześciokąta:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4 } \sqrt{3} - 3 \cdot (\frac{1}{36} \sqrt{3})}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \sqrt{3}-\frac{3}{36}}\)\(\displaystyle{ \cdot 3\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{12} \sqrt{3}-\frac{1}{12}}\)\(\displaystyle{ \cdot 3\sqrt{3}}\)

Skoro pierwiastkowanie jest odwrotnością potęgowania to potęga pierwiastka kwadratowego wyniesie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} - 3^{\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{6}-9}\)

\(\displaystyle{ -8\frac{5}{6}}\)

Wynik daje liczbę ujemną. Gdzie jest błąd?

[dec1]

Według mnie długość boku to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

Czemu?

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)\(\displaystyle{ \sqrt{3} - 3*(\frac{1}{36}}\)\(\displaystyle{ \sqrt{3})}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)\(\displaystyle{ \sqrt{3}-\frac{3}{36}}\)\(\displaystyle{ *3\sqrt{3}}\)

błąd

Skoro pierwiastkowanie jest odwrotnością potęgowania to potęga pierwiastka kwadratowego wyniesie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)\(\displaystyle{ - 3^{\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}}}\)

Co tu się stało?

[twnt22]

1. Z trójkąta równobocznego odcięto trójkąty narożne (równoboczne), przez co powstał sześciokąt równokątny. Wywnioskowałem, że bok sześciokąta i trójkątów będzie wynosił \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

2. Jaki tam jest błąd? Mnożenie \(\displaystyle{ \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{36}}\) daje \(\displaystyle{ \frac{3}{36}}\).

3. Tak mi podpowiedział kalkulator

[dec1]

1. tam jest napisane równokątny, nie równoboczny
2. dwa razy przez \(\displaystyle{ 3}\) pomnożyłeś
3. nadal nie wiem co tu się stało. W każdym razie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{9}{36}\sqrt{3}\neq \frac{1}{6}-9}\)

[twnt22]

1. Sześciokąt jest równokątny, ale jak dla mnie nadal długość jego boku to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
Poza tym to jakoś dziwnie jest sformułowane polecenie a), a może ono by pomogło z tym

[dec1]

Dlaczego?

Podpunkt a) nie ma wiele wspólnego z podpunktem b), i jest dobrze sformułowany

[Premislav]

A mógłby mi ktoś wyjaśnić, dlaczego ten sześciokąt musi mieć bok długości \(\displaystyle{ \frac 1 3}\)? Jakoś tego nie widzę.
Przecież on raczej nie musi być foremny... Równość kątów tego nie daje.

[dec1]

O tym mówię właśnie

[twnt22]

Faktycznie. Wcześniej było opisane w Kwadracie, że ten sześciokąt jest równokątny, ale nie foremny, więc długość boku nie musi wynosić \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

[noAlka]

Czy ktoś byłby w stanie wytłumaczyć mi podpunkt a)?

[piasek101]

Trzy boki sześciokąta leżą wewnątrz danego trójkąta - poprowadź przez te boki linie proste. Linie proste przecinają się w wierzchołkach trójkąta równobocznego, o którym mowa w punkcie (a) zadania.

[noAlka]

To zrozumiałam, chodzi mi raczej o sposób rozwiązania/ nakierowanie.

[piasek101]

Nakierowanie - bok nie będzie wyznaczony jednoznacznie, a zależny od (a); (b) i (c).

Może chciałaś otrzymać konkretny - i stąd problem.