Czworokąt wpisany w okrąg

[Hannibal]

Przekątne czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Środkami jego boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) odpowiednio. Udowodnić, że jeżeli czworokąt ten można wpisać w okrąg, to prostopadłe do prostych \(\displaystyle{ AD}\), \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ AC}\) przechodzące odpowiednio przez punkty \(\displaystyle{ S}\), \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) przecinają się w jednym punkcie.
Bardzo proszę o pomoc.

[Pinionrzek]

To nie jest prawdą.

[anna_]

To nie jest prawdą.

Mylisz się.
To jest prawda

[kinia7]

Witaj anna_, dawno Cię nie było.

[Pinionrzek]

5432691.png

To nie jest prawdą.

Oooops, faktycznie źle to przeczytałem, przepraszam.
Dobra to rozwiązanie.
Niech \(\displaystyle{ K, \ L}\) będą spodkami wysokości \(\displaystyle{ \triangle ABD, \ \triangle ADC}\) opuszczonych kolejno na boki \(\displaystyle{ BD, \ AC}\). Załóżmy, że te dwie wysokości przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ H}\) Zauważmy, że jest to ortocentrum \(\displaystyle{ \triangle ADS}\), więc \(\displaystyle{ SH \perp AD}\). Niech proste z treści zadania przechodzące przez \(\displaystyle{ P, \ Q}\) tną \(\displaystyle{ BD, \ AC}\) odpowiednio w \(\displaystyle{ X, \ Y}\), a same niech przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Z}\). Zauważmy, że skoro czworokąt \(\displaystyle{ DAKL}\) jest cykliczny, to \(\displaystyle{ KL \parallel BC}\), czyli czworokąt \(\displaystyle{ BCLK}\) jest trapezem. Nietrudno zauważyć, że prosta \(\displaystyle{ XY}\) jest linią środkową tego trapezu, czyli także \(\displaystyle{ XY \parallel BC \parallel KL}\). Widać stąd, że \(\displaystyle{ \triangle SXY \sim \triangle SLK}\). Z jednokładności otrzymujemy zatem, że punkty \(\displaystyle{ Z, \ S, \ H}\) są współliniowe, skąd wynika teza zadania.