Równoległobok w czworokącie wypukłym.

[dawid.barracuda]

Szanowni Forumowicze,
mam takie zadanie: w czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ EFGH}\) połączono kolejno środki boków, powstał w ten sposób równoległobok \(\displaystyle{ KLMN}\). Wykaż, że pole \(\displaystyle{ EFGH}\) jest 2 razy większe niż pole równoległoboku \(\displaystyle{ KLMN}\).

No i mam problem. Jak wykazać, że to rzeczywiście jest równoległobok to wiem, ale jak pokazać z polami to mam trochę problem. Proszę uprzejmie o wskazówki i pozdrawiam.

[kerajs]

\(\displaystyle{ P _{EFGH}=ab\sin \alpha \\
P _{KLMN}= P _{EFGH}-P _{ENK} -P _{FKL}-P _{GLM}-P _{HMN}=\\=ab\sin \alpha- \frac{1}{2} \frac{a}{2}\frac{b}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \frac{a}{2}\frac{b}{2} \sin ( \pi -\alpha) - \frac{1}{2} \frac{a}{2}\frac{b}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \frac{a}{2}\frac{b}{2} \sin ( \pi -\alpha)=\\= ab\sin \alpha-\frac{4}{2} \frac{a}{2}\frac{b}{2} \sin \alpha=\frac{1}{2}ab\sin \alpha=\frac{1}{2}P _{EFGH}}\)

[dawid.barracuda]

Nie rozumiem skąd kąty w trójkątach innych niż \(\displaystyle{ \Delta ENK}\)

[piasek101]

Inaczej - weź pole czworokąta ze wzoru z przekątnymi i kątem między nimi, a równoległoboku z bokami i kątem między nimi.

[kerajs]

Ech, wciórności i ósmak szaleju, cóż za duby smalone nawypisywałem .

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below left]{E}--(6,-2) node[below right]{F}--(4,4) node[above right]{G}--(-2,4) node[above left]{H}--cycle;
\filldraw[blue] (3,-1) circle (.5mm) node[below,black]{K};
\filldraw[blue] (5,1) circle (.5mm) node[right,black]{L};
\filldraw[blue] (1,4) circle (.5mm) node[above,black]{M};
\filldraw[blue] (-1,2) circle (.5mm) node[left,black]{N};
\end{tikzpicture}}\)
\(\displaystyle{ P _{ENK}+P _{GLM}= \frac{1}{2} \left|EK \right| \left|EN \right|\sin E+ \frac{1}{2} \left|GL \right| \left|GM \right|\sin G=\\= \frac{1}{2} \frac{1}{2}\left|EH \right| \frac{1}{2}\left|EF \right|\sin E+ \frac{1}{2} \frac{1}{2}\left|FG \right| \frac{1}{2}\left|GH \right|\sin G= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2}\left|EH \right| \left|EF \right|\sin E+ \frac{1}{2}\left|FG \right| \left|GH \right|\sin G\right)=\\= \frac{1}{4}(P _{EFH}+P _{FGH})=\frac{1}{4}P _{EFGH}}\)

Analogicznie
\(\displaystyle{ P _{FKL}+P _{HMN}= \frac{1}{4}(P _{EFG}+P _{EGH})=\frac{1}{4}P _{EFGH}}\)
Sumując obie zależności
\(\displaystyle{ P _{ENK}+P _{GLM}+P _{FKL}+P _{HMN}= \frac{1}{4}P _{EFGH}+\frac{1}{4}P _{EFGH}=\frac{1}{2}P _{EFGH}}\)

Wielkie SORRRY.

Ps. Grafika na podstawie grafiki a4karo

[mint18]

Przeanalizuj moje rozwiązanie zadania które wrzucił marcel0906 tutaj 406703,50.htm
To jest 5 post licząc od dołu.

[dawid.barracuda]

Ano właśnie, teraz wszystko jasne Dziękuję wszystkim serdecznie za pomoc i pozdrawiam.