Pole trapezu.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Pole trapezu.

Post autor: dawid.barracuda »

Szanowni Forumowicze,
mam takie zadanie: w trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie \(\displaystyle{ AB || CD}\), przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Wiedząc, że pole \(\displaystyle{ \Delta ABS}\) = 15 i pole \(\displaystyle{ \Delta SBC = 6}\), oblicz pole trapezu.
Szukałem zależności z podobieństwa, ale poległem, wychodzi mi ciągle za dużo niewiadomych. Proszę uprzejmie o wskazówki i pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Larsonik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 267
Rejestracja: 17 lut 2016, o 11:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódzkie
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 40 razy

Pole trapezu.

Post autor: Larsonik »

Trójkąty \(\displaystyle{ ABS}\) i \(\displaystyle{ SCD}\) są podobne. Dane jest pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) o wysokości \(\displaystyle{ h}\) i podstawie \(\displaystyle{ AB}\). Niech wysokość trójkąta \(\displaystyle{ SCD}\) wynosi \(\displaystyle{ x}\), a trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\) wynosi \(\displaystyle{ h - x}\). Istnieje również trójkąt \(\displaystyle{ ACD}\) o wysokości \(\displaystyle{ h}\) i podstawie \(\displaystyle{ CD}\). Kombinuj z podobieństwem.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Pole trapezu.

Post autor: dawid.barracuda »

Mam tyle i stoję w miejscu:
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Pole trapezu.

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left|AS \right|BS \left| \right|\sin \alpha =15\\
\frac{1}{2}\left|CS \right|BS \left| \right|\sin ( \pi -\alpha) =6}\)

dzieląc stronami mam
\(\displaystyle{ \frac{\left| AS\right| }{\left| CS\right| }= \frac{15}{6}= \frac{5}{2}=k}\)
Podobienstwo trójkątów ABS i CDS daje\(\displaystyle{ \frac{P _{ABS}}{P _{CDS}}=k^2 \Rightarrow P _{CDS}=15 \cdot \frac{4}{25}= \frac{12}{5}}\)
I warto tez wiedzieć ze
\(\displaystyle{ P _{ADS}=P _{CBS}}}\)
Awatar użytkownika
Larsonik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 267
Rejestracja: 17 lut 2016, o 11:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódzkie
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 40 razy

Pole trapezu.

Post autor: Larsonik »

A idąc rozumowaniem zaproponowanym przeze mnie możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ h}\) od \(\displaystyle{ a}\), a nastepnie skorzystać z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ ABS}\) i \(\displaystyle{ SCD}\) i ułożyc proporcję: \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{x}{h-x}}\) i wyznaczyć \(\displaystyle{ b}\) od \(\displaystyle{ a}\). Do pola \(\displaystyle{ ABC}\) dodać pole trójkąta \(\displaystyle{ ACD = \frac{1}{2}\left|CD \right| h}\) i skorzystać z poprzednich wyliczeń. Aczkolwiek sposób kerajsa dużo zgrabniejszy i prostszy.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Pole trapezu.

Post autor: dawid.barracuda »

Dziękuję wszystkim za pomoc, teraz wszystko jasne Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ