Własność współokręgowych punktów

[karolex123]

Dane są punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\), które leżą na jednym okręgu. Punkt \(\displaystyle{ D}\) przekształcamy w symetrii względem prostych \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) otrzymującym przy tym odpowiednio punkty \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\). Udowodnij, że punkty \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\) są współliniowe.

[Michalinho]

Z twierdzenia Simsona rzuty punktu \(\displaystyle{ D}\) na boki \(\displaystyle{ AB, AC, BC}\) leżą na jednej prostej, a ponieważ, punkty \(\displaystyle{ P, Q, R}\) są obrazami tych rzutów w jednokładności o środku \(\displaystyle{ D}\), która jest kolineacją, mamy tezę

[karolex123]

Dziękuję bardzo za odpowiedź . A czy istnieje inny sposób udowodnienia tego faktu bez twierdzenia Simsona?