Ilość przekątnych poćwiartowanych innymi przekątnymi

[james5]

Cześć, potrzebny mi jest wzór, albo jakiś pattern jak czegoś takiego szukać.
Chciałbym wiedzieć ile jest odcinków w środku wielokąta o N bokach. Odcinek nie przecinający się z żadnym innym. Na dobrą sprawę są to przekątne poćwiartowane innymi przekątnymi (najlepiej spojrzeć na rysunek).

AU

GR0Yghe.png (48.91 KiB) Przejrzano 69 razy

próbowałem, aby kolory się nie powtarzały, ale nie wyszło. W każdym razie - każdy odcinek jest liczony osobno.
Myślę, że na pewno jest jakiś wzór, suma albo sposób liczenia tego, ale nie jestem w stanie tego wygooglować nigdzie.

@edit1
Kolega M Maciejewski zwrócił uwagę, aby nie patrzeć na rysunek w taki sposób, że musi to być wielokąt foremny. Rzeczywiście, to prowadzi czasami do sytuacji, że przecina się więcej niż dwaodcinki w jednym miejscu.

Pozdrawiam

[M Maciejewski]

Chyba nie ma wzoru, który zależy jedynie od liczby wierzchołków, ponieważ to zależy od geometrii wielokąta. Zrobiłem sobie rysunek dla sześciu wierzchołków i zauważyłem, że czasem kilka przekątnych może się przeciąć w jednym punkcie, a jak się lekko ruszy punkty, to już będą się przecinać w większej liczbie punktów, tworząc więcej odcinków, których liczby szukasz.

[james5]

No ok, rzeczywiście rysunek wielokąta foremnego może mylić. No nic, może ktoś coś wyprowadzi

[dec1]

Jeśli dobrze Cię zrozumiałem, to dla wielokątów foremnych wyglądać to będzie tak:
\(\displaystyle{ f(3)=0}\)
\(\displaystyle{ f(4)=n=4}\)
\(\displaystyle{ f(5)=n(n-3)+n=15}\)
\(\displaystyle{ f(6)=n(n-3)+n(n-4)+n=36}\)
\(\displaystyle{ f(7)=n(n-3)+n(n-4)+2n(n-5)+n=84}\)
\(\displaystyle{ f(8)=n(n-3)+n(n-4)+2n(n-5)+2n=136}\)
i tak dalej

Dla dowolnego wielokąta pewnie bardzo trudno byłoby coś takiego wyprowadzić