Suma obwodów

[Ruahyin]

Ile co najmniej kół należy wyciąć z arkusza papieru w kształcie kwadratu, aby suma ich obwodów była większa niż obwód danego na początku arkusza papieru?

[kerajs]

Wystarczą trzy. (Niech dwa z nich będą styczne do boków kwadratu i jego przekątnej)

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (-2,-2)--(-2,2)--(2,2)--(2,-2)--cycle;

\draw (0.8284,0.8284)circle(1.1716);
\draw (-0.8284,-0.8284)circle(1.1716);


\end{tikzpicture}}\)

[Ruahyin]

A czy jest jakiś matematyczny sposób żeby do tego dojść?

[Straznik Teksasu]

Wykorzystaj wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt.

[Ruahyin]

Straznik Teksasu, jak są umiejscowione w kwadracie te koła?? Nie mogędo tego dojść. I co ma do tego ten wzór?

[Straznik Teksasu]

Ukryta treść:    

AU

341px-Circles_packed_in_square_2svg.png (14.89 KiB) Przejrzano 182 razy

A trzeci będzie obok.

[Ruahyin]

Straznik Teksasu, jak teraz można obliczyć obwody tych okręgów???

[Straznik Teksasu]

Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt to: \(\displaystyle{ r= \frac{2P}{a+b+c}}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) to pole trójkąta a \(\displaystyle{ a,b,c}\) to długości jego boków. Te 2 okręgi są wpisane w trójkąty prostokątne równoboczne, których przeciwprostokątna jest przekątna kwadratu. Policz promień, a następnie obwody tych dwóch okręgów. Jeśli \(\displaystyle{ r}\) będzie promieniem tych okręgów i \(\displaystyle{ k}\) będzie bokiem kwadratu to trzeci okrąg możesz wpisać w kwadrat o boku \(\displaystyle{ k-2r}\). Policz obwód tego okręgu (można również z tej kartki wyciąć nieco większy okrąg, który byłby styczny z dwoma pozostałymi, ale wymagałoby to więcej obliczeń) . Sprawdź czy suma obwodów tych 3 okręgów wyniesie więcej niż \(\displaystyle{ 4k}\).