Wykaż, że proste są równoległe

[desperate]

Okręgi \(\displaystyle{ o_{1} ( O_{1} , r_{1} )}\) oraz \(\displaystyle{ o_{2} ( O_{2} , r_{2} )}\), gdzie \(\displaystyle{ 0< r_{1} < r_{2}}\) , przecinają się w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Na okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\) wybrano punkt \(\displaystyle{ C}\) (\(\displaystyle{ C \neq K}\) i \(\displaystyle{ C \neq L}\)) i poprowadzono styczną \(\displaystyle{ p}\) do tego okręgu w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Następnie poprowadzono półproste \(\displaystyle{ CK}\) i \(\displaystyle{ CL}\), które przecięły okrąg \(\displaystyle{ o_{2}}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Wykaż, że prosta \(\displaystyle{ p}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ AB}\).

Proszę o pomoc matma rozszerzona w poniedziałek

[Larsonik]

Na początku zaznaczę, że nie jestem nawet maturzystą, ale chciałbym pokazać swój tok rozumowania, zeby jakieś tęgie forumowe głowy go zweryfikowały.

Poprowadźmy prostą \(\displaystyle{ LK}\). Przecina ona prostą \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie S i prostą \(\displaystyle{ p}\) w punkcie \(\displaystyle{ T}\). Oznaczmy punkt \(\displaystyle{ R}\) na prostej \(\displaystyle{ p}\) w pewnej odległości od punktu \(\displaystyle{ C}\) po "przeciwnej" stronie niż punkt \(\displaystyle{ T}\). Niech kąty \(\displaystyle{ LCR= \alpha , KCT = \beta}\). Wtedy kąt \(\displaystyle{ LKC= \alpha , KLC = \beta}\). Wynika to z tego, że prosta \(\displaystyle{ p}\) jest styczna w punkcie \(\displaystyle{ C}\) i kątów środkowych i opisanych. Czworokąt \(\displaystyle{ ABKL}\) jest wpisany w okrąg \(\displaystyle{ O_{2}}\), zatem suma miar przeciwległych kątów wynosi \(\displaystyle{ 180^o}}\). Wynika z tego, ze kąt \(\displaystyle{ ABL = \alpha}\) i dalej kąt \(\displaystyle{ SBL = 180^{0} - \alpha}\). Kąt \(\displaystyle{ BLS = \beta}\), gdyż jest to kąt wierzchołkowy. Zatem kąt \(\displaystyle{ SBL = 180^{o} - (180^{o} - \alpha) - \beta = \alpha - \beta}\). Następnie w kolejnym trójkącie kąt \(\displaystyle{ CKT = 180^{o} - \alpha}\), zatem kąt \(\displaystyle{ CTK = 180^{o} - (180^{o} - \alpha) - \beta = \alpha - \beta}\). Miary kątów \(\displaystyle{ CTK}\) i \(\displaystyle{ BSL}\) są równe, a proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ p}\) przecięte są prostą \(\displaystyle{ LK}\), więc są to kąty naprzemianległe. Wynika z tego, że są to proste równoległe. Chyba .

[macik1423]

A ja proponuje żeby podzielić trójkąt \(\displaystyle{ CKL}\) na trzy trójkąty równoramienne o kątach przy podstawach \(\displaystyle{ \alpha, \alpha; \beta, \beta; \gamma, \gamma}\). Z tego wynika że \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}}\). Kąt \(\displaystyle{ LKA=180^{\circ}-\beta-\gamma}\). Wtedy kąt \(\displaystyle{ CBA=\beta+\gamma}\) (z własności czworokąta \(\displaystyle{ LKAB}\) wpisanego w okrąg \(\displaystyle{ o_2}\)). Kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) trójkąta \(\displaystyle{ CKL}\) podzieliłem na sumę kątów \(\displaystyle{ \alpha+\beta}\). Kąt \(\displaystyle{ ECL=90^{\circ}-\alpha}\), a kąt \(\displaystyle{ ABC=\beta+\gamma=90^{\circ}-\alpha}\).

[SlotaWoj]

@Larsonik
Ale żeś namotał.

1. \(\displaystyle{ \alpha=\angle LCR\ne\angle LKC}\) i \(\displaystyle{ \beta=\angle KCT\ne\angle KLC}\) (w parach jeden jest ostry, drugi rozwarty).
2. \(\displaystyle{ \alpha\ne\angle ABL=\angle SBL\ne180^\circ-\alpha}\) (musi być \(\displaystyle{ \alpha\ne90^\circ}\).

@Macik1423
Super!

[Larsonik]

@SlotaWoj
Dzięki za wejście za mną w ten gąszcz oznaczeń.
1. Nie widzę dlaczego \(\displaystyle{ \alpha=\angle LCR\ne\angle LKC}\). \(\displaystyle{ \angle CO_{1}L= 2\angle LKC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle O_{1}CR = 90^{o}}\) i \(\displaystyle{ \angle O_{1}CL = \frac{180^{o} - 2\angle LKC}{2} = 90^{o} - \angle LKC}\), więc \(\displaystyle{ \angle LCR + \angle O_{1}CL = 90^{o} - \angle LKC + \alpha = 90^{o}
\angle LKC = \alpha}\)
2. Tego już w ogóle nie rozumiem. Być może pogubiłem się w oznaczeniach. Postaram się zrobić rysunek

[SlotaWoj]

@Larsonik
Teraz dopiero zorientowałem się, że poprawność Twojego rozumowania zależy od kolejności punktów, a dokładniej czy punkt \(\displaystyle{ L}\) rozdziela punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ T}\) (jak u Ciebie), czy też punkt \(\displaystyle{ K}\) rozdziela punkty \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ T}\) (jak u mnie) i dla punktów \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ S}\) podobnież.
Dobrze!