Kwadraty zbudowane na przyprostokątnych

[Ruahyin]

Przeciwprostokątna trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) leży na prostej \(\displaystyle{ l}\). Na przy prostokątnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ h}\) zbudowano kwadraty. Uzasadnij, że suma pól trójkątów powstałych po połączeniu bliższych prostej wierzchołków kwadratów pod kątem prostym z prostą na której zbudowano trójkąt prostokątny jest równa polu trójkąta prostokątnego czyli tego \(\displaystyle{ ABC}\).

[liu]

Spróbuj użyć podobieństwa do znalezienia pól tych dwóch powstałych trójkątów.

[Ruahyin]

Czy mógłbyś z podobieństwa wyprowadzić mi równanie bo chciałabym sprawdzić czy dobrze zzrobiłam a nie bardzo umiem zapisać w TEX ??? Do najprostszej postaci tak żeby się przekonać o poprawności też sprowadzić nie umiem.

[Kacperdev]

Niech wyjsciowy trójkąt ma pole \(\displaystyle{ P=\frac{ab}{2}}\) (a i b to dlugosci przyprostokątnych)

1. wiemy, że pola zmieniają się z kwadratem skali podobieństwa.
2. Pierwszy trójkąt ma skale potobieństwa \(\displaystyle{ \frac{b}{c}}\) a drugi \(\displaystyle{ \frac{a}{c}}\)

zbadajmy więc sumę pól:

\(\displaystyle{ \frac{b^{2}}{c^2} \cdot P + \frac{a^2}{c^2}\cdot P = P\cdot\left( \frac{a^2+b^2}{c^2}\right) =P}\)

[Ruahyin]

Okey. I trzeba robić coś dalej czy wystarczy na tym zakończyć? Bo wydaje mi sie że pasowałoby tu wykazać że \(\displaystyle{ P \cdot \left( \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}} \right)}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{ab}{2}}\)

[Kacperdev]

Z założenia \(\displaystyle{ P=\frac{ab}{2}}\) a z tw. pitagorasa \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\) zatem \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{c^2} =1}\)