Rozkłąd sił (równoległobok)

[Zdzich84]

Witam

Proszę o wskazówki do zadania:

Siłę P rozłożyć na 2 składowe (P1 i P2) tak, aby tworzyły kąt alpha 60 stopni, a wartość bezwzględna sumy sił tych składowych osiągała największą wartość.

Dziękuję

[SlotaWoj]

Temat zadania jest źle zredagowany!

Powinno być:

• Siłę \(\displaystyle{ P}\) rozłożyć na składowe \(\displaystyle{ P_1}\) i \(\displaystyle{ P_2}\) tak, aby tworzyły kąt \(\displaystyle{ \alpha=60^\circ}\), a suma ich wartości bezwzględnych miała największą wartość.

Ukryta treść:    

Suma wartości bezwzględnych, to nie to samo co wartość bezwzględna sumy.

W trójkącie sił \(\displaystyle{ \Delta PP_1P_2}\) kąt przeciwległy \(\displaystyle{ P}\) będzie miał miarę \(\displaystyle{ 120^\circ}\), a pozostałe kąty będą dopełniały się do \(\displaystyle{ 60^\circ}\).

Trzeba znaleźć maksimum funkcji:

• \(\displaystyle{ f(\alpha)=\frac{x}{\cos\alpha}+\frac{P-x}{\cos(60^\circ-\alpha)}}\)

wykorzystując (aby wyeliminować \(\displaystyle{ x}\)) zależność:

• \(\displaystyle{ x\cdot\tg\alpha=(P-x)\cdot\tg(60^\circ-\alpha)}\)

[Zdzich84]

Dziękuje.

Mam pytanie:

Czym jest x?

Pozdrawiam

[SlotaWoj]

W trójkącie sił odległością od początku wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{P}}\) rzutu prostokątnego końca wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{P_1}}\) na kierunek wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{P}}\).

Edit:

Przecież \(\displaystyle{ \overrightarrow{P_1}}\), \(\displaystyle{ \overrightarrow{P_2}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{P}}\) to są wektory, a nie punkty. Powyżej poprawiłem.

[Zdzich84]

OK - a czy mi się wydaje czy jest w Pana wzorze kolizja oznaczeń? kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem P2P1P, i nie ma miary 60 stopni (kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) z treści ma taką miarę i jest nim kąt ostry równoległoboku sił) ?

[SlotaWoj]

Powyżej poprawiłem.
Jeżeli wektory \(\displaystyle{ \overrightarrow{P_1}}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow{P_2}}\) tworzą kąt \(\displaystyle{ \alpha=60^\circ}\), to w trójkącie sił będzie między nimi kąt \(\displaystyle{ 120^\circ}\), a pozostałe kąty będą się dopełniały do \(\displaystyle{ 60^\circ}\).

[Zdzich84]

Dziękuję. Mnie chodzi o równania z Pana pierwszego postu. Jeżeli \(\displaystyle{ \alpha}\) = 60 stopni to otrzymujemy:

f(\(\displaystyle{ \alpha}\)) = P (po podstawieniu obliczonego x z równania drugiego)

Mam pytanie , którym kątem jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) w Pana pierwszym równaniu.
Podejrzewam kolizcję oznaczeń - kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) ma 60 stopni.

Pozdrawiam

[SlotaWoj]

Rzeczywiście, ta kolizja oznaczeń to mój błąd. Przepraszam.

Niech \(\displaystyle{ \beta=\angle(\overrightarrow{P_1},\overrightarrow{P})}\) w trójkącie sił \(\displaystyle{ \Delta \overrightarrow{P}\overrightarrow{P_1}\overrightarrow{P_2}}\).

Trzeba znaleźć maksimum funkcji:

• \(\displaystyle{ f(\beta)=\frac{x}{\cos\beta}+\frac{P-x}{\cos(60^\circ-\beta)}}\)

wykorzystując (aby wyeliminować x) zależność:

• \(\displaystyle{ x\cdot\tg\beta=(P-x)\cdot\tg(60^\circ-\beta)}\)

Objaśnienie:

• \(\displaystyle{ \left|\overrightarrow{P_1}\right|=\frac{x}{\cos\beta}}\)
  \(\displaystyle{ \left|\overrightarrow{P_2}\right|=\frac{P-x}{\cos(60^\circ-\beta)}}\)

[Zdzich84]

Dzięki - tak myslałem. Wykombinowałem, że mozna to w podobny sposób ugryźć z twierdzenia sinusów - wynik jest ten sam, a obliczenia trochę prostsze.

Pozdrawiam