Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)

[Calineczka97]

Dane są dwa kwadraty \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ AKLM}\), których wspólną częścią jest odcinek \(\displaystyle{ AK}\). Wykazać, że proste \(\displaystyle{ BK}\), \(\displaystyle{ CL}\), i \(\displaystyle{ DM}\) przecinają się w jednym punkcie.

(Będę wdzięczna za szybkie i pełne rozwiązanie tego zadania )

[kruszewski]

....a tym punktem jest punkt \(\displaystyle{ A}\)

[Calineczka97]

Tym punktem nie jest punkt \(\displaystyle{ A}\).

[kruszewski]

Jeżeli \(\displaystyle{ AB}\) przynależy do kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) , to \(\displaystyle{ AK}\) przynależąc do \(\displaystyle{ AB}\) przynależy do kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\).
Stąd szukanym punktem jest ów punkt \(\displaystyle{ A}\).


Niżej jest przypadek jaki najpewniej miał na myśli układacz zadania.

[Pinionrzek]

Niech \(\displaystyle{ P=DM \cap BK}\). Bez straty ogólności załóżmy, że punkty \(\displaystyle{ D, \ P, \ M}\) leżą właśnie w tej kolejności na jednej prostej. Zauważmy, że \(\displaystyle{ \triangle AKB \equiv \triangle APD}\) (jeden trójkąt przechodzi na drugi przy obrocie o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) względem punktu \(\displaystyle{ A}\)). \(\displaystyle{ \angle PML=\angle DPA-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-\angle PKA=\angle PKL}\), skąd otrzymujemy, że punkty \(\displaystyle{ A, \ K, \ L, \ M, \ P}\) są współokręgowe, więc \(\displaystyle{ \angle BPD= \frac{\pi}{2}}\). Implikuje to więc, że punkty \(\displaystyle{ A, \ B, \ C, \ D, \ P}\) leżą na jednym okręgu, czyli \(\displaystyle{ \angle DPC= \frac{\pi}{4}=\angle DPL}\), czyli punkty \(\displaystyle{ P, \ L, \ C}\) są wpółliniowe.

[Calineczka97]

Tylko, że (pytałam nauczyciela) jedyną częścią wspólną tych dwóch kwadratów jest odcinek \(\displaystyle{ AK}\). Te kwadraty wyglądają tak:

[dec1]

kruszewski, zauważ, że obszar ograniczony brzegiem kwadratu też należy do kwadratu, więc w przypadku, który przedstawiłeś, odcinek \(\displaystyle{ AK}\) nie jest jedyną częścią wspólną obu kwadratów.

[kruszewski]

Oczywista, że nie jest w sensie teoriomnogościowym.

[Pinionrzek]

Moje rozwiązanie przenosi się oczywiście na tę konfigurację.

[SlotaWoj]

Tylko, że (pytałam nauczyciela) jedyną częścią wspólną tych dwóch kwadratów jest odcinek \(\displaystyle{ AK}\).

Tylko, że słowa jedyną nie ma w pierwotnym temacie zadania.

Tak się akurat składa, że dla kwadratów \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ AKLM}\), niezależnie od ich orientacji, proste wyznaczone przez pary punktów \(\displaystyle{ BK}\), \(\displaystyle{ CL}\) i \(\displaystyle{ DM}\) zawsze przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie Piniorzeka jest uniwersalne.