Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 kwie 2016, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
Dane są dwa kwadraty \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ AKLM}\), których wspólną częścią jest odcinek \(\displaystyle{ AK}\). Wykazać, że proste \(\displaystyle{ BK}\), \(\displaystyle{ CL}\), i \(\displaystyle{ DM}\) przecinają się w jednym punkcie.
(Będę wdzięczna za szybkie i pełne rozwiązanie tego zadania )
(Będę wdzięczna za szybkie i pełne rozwiązanie tego zadania )
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
....a tym punktem jest punkt \(\displaystyle{ A}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 kwie 2016, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
Tym punktem nie jest punkt \(\displaystyle{ A}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
Jeżeli \(\displaystyle{ AB}\) przynależy do kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) , to \(\displaystyle{ AK}\) przynależąc do \(\displaystyle{ AB}\) przynależy do kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\).
Stąd szukanym punktem jest ów punkt \(\displaystyle{ A}\).
Niżej jest przypadek jaki najpewniej miał na myśli układacz zadania.
Stąd szukanym punktem jest ów punkt \(\displaystyle{ A}\).
Niżej jest przypadek jaki najpewniej miał na myśli układacz zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
Niech \(\displaystyle{ P=DM \cap BK}\). Bez straty ogólności załóżmy, że punkty \(\displaystyle{ D, \ P, \ M}\) leżą właśnie w tej kolejności na jednej prostej. Zauważmy, że \(\displaystyle{ \triangle AKB \equiv \triangle APD}\) (jeden trójkąt przechodzi na drugi przy obrocie o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) względem punktu \(\displaystyle{ A}\)). \(\displaystyle{ \angle PML=\angle DPA-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-\angle PKA=\angle PKL}\), skąd otrzymujemy, że punkty \(\displaystyle{ A, \ K, \ L, \ M, \ P}\) są współokręgowe, więc \(\displaystyle{ \angle BPD= \frac{\pi}{2}}\). Implikuje to więc, że punkty \(\displaystyle{ A, \ B, \ C, \ D, \ P}\) leżą na jednym okręgu, czyli \(\displaystyle{ \angle DPC= \frac{\pi}{4}=\angle DPL}\), czyli punkty \(\displaystyle{ P, \ L, \ C}\) są wpółliniowe.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 kwie 2016, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
Tylko, że (pytałam nauczyciela) jedyną częścią wspólną tych dwóch kwadratów jest odcinek \(\displaystyle{ AK}\). Te kwadraty wyglądają tak:
Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
kruszewski, zauważ, że obszar ograniczony brzegiem kwadratu też należy do kwadratu, więc w przypadku, który przedstawiłeś, odcinek \(\displaystyle{ AK}\) nie jest jedyną częścią wspólną obu kwadratów.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
Oczywista, że nie jest w sensie teoriomnogościowym.
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
Moje rozwiązanie przenosi się oczywiście na tę konfigurację.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Dwa kwadraty i proste między nimi (zad olimpijskie)
Tylko, że słowa jedyną nie ma w pierwotnym temacie zadania.Calineczka97 pisze:Tylko, że (pytałam nauczyciela) jedyną częścią wspólną tych dwóch kwadratów jest odcinek \(\displaystyle{ AK}\).
Tak się akurat składa, że dla kwadratów \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ AKLM}\), niezależnie od ich orientacji, proste wyznaczone przez pary punktów \(\displaystyle{ BK}\), \(\displaystyle{ CL}\) i \(\displaystyle{ DM}\) zawsze przecinają się w jednym punkcie.
Rozwiązanie Piniorzeka jest uniwersalne.