Witam. Proszę o pomoc w tym zadaniu:
W trapez równoramienny wpisano okrąg o promieniu r. Punkty styczności dzielą ramiona trapezu w stosunku 2:3. Wyznacz długość ramienia trapezu oraz cosinus kąta między przekątną, a ramieniem.
Wiem, że powinienem podać swoje obliczenia, ale myślę nad tym już dłuższą chwilę i nic mi nie przychodzi do głowy. Jak mam obliczyć bok, albo cosinus kąta skoro nie mam podanej żadnej danej? Nawet promienia tego okręgu. Od czego powinienem zacząć?
Z góry dziękuję za pomoc.
Okrąg wpisany w trapez.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Okrąg wpisany w trapez.
Promien okręgu wynosi \(\displaystyle{ r}\) (przy okazji \(\displaystyle{ 2r}\) to wysokość trapezu). \(\displaystyle{ r}\) to dana.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Okrąg wpisany w trapez.
No nie było widać.Jak mam obliczyć bok, albo cosinus kąta skoro nie mam podanej żadnej danej? Nawet promienia tego okręgu.
Zacznij od rysunku. (pamiętaj, że styczne do trapezu leżą pod kątem prostym)
-
ksared
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 20 maja 2015, o 23:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 6 razy
Okrąg wpisany w trapez.
Nie wiem jak tutaj zdjęcie wkleić to po prostu napiszę:
Wiem, że r to promień, a \(\displaystyle{ 2 r}\) to wysokość. Wiem, że \(\displaystyle{ \frac{2}{5}a}\) to ta górna część ramienia, a \(\displaystyle{ \frac{3}{5}a}\) to dolna część. Wiem gdzie ma być ten kąt, ale za nic nie wiem jakie ja mogę tutaj zastosować obliczenia. Przecież do twierdzenia cosinusów musiałbym znać jeszcze przynajmniej przekątną i krótszą podstawę.
Rysunek zrobiłem. I na tym się moje pomysły kończą.
Ok. Czyli mam jeden kąt.-- 21 kwi 2016, o 23:27 --Wiadomo, że promień to r, a mi ma wyjść konkretna liczba, więc wiesz. Trochę słaba ta dana.
Wiem, że r to promień, a \(\displaystyle{ 2 r}\) to wysokość. Wiem, że \(\displaystyle{ \frac{2}{5}a}\) to ta górna część ramienia, a \(\displaystyle{ \frac{3}{5}a}\) to dolna część. Wiem gdzie ma być ten kąt, ale za nic nie wiem jakie ja mogę tutaj zastosować obliczenia. Przecież do twierdzenia cosinusów musiałbym znać jeszcze przynajmniej przekątną i krótszą podstawę.
Rysunek zrobiłem. I na tym się moje pomysły kończą.
Ok. Czyli mam jeden kąt.-- 21 kwi 2016, o 23:27 --Wiadomo, że promień to r, a mi ma wyjść konkretna liczba, więc wiesz. Trochę słaba ta dana.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Okrąg wpisany w trapez.
Nie wykorzystujesz wszystkich informacji.
Po pierwsze: o ile to możliwe unikaj ułamków.
Zatem przekątne dzielą sie w stosunku \(\displaystyle{ 2x}\) oraz \(\displaystyle{ 3x}\) (zatem przkątna ma dlugość \(\displaystyle{ 5x}\)). Stąd wynika, że dłuższa podstawa ma długość \(\displaystyle{ 6x}\) (!). Zauważ, że powstają nam deltoidy.
Dalej - krótsza podstawa ma dlugość \(\displaystyle{ 4x}\).
teraz z tw. pitagorasa mamy \(\displaystyle{ \left( 2r\right)^{2} +x^2 = \left( 5x\right) ^2}\). stąd łatwo obliczasz przekątną.
Po pierwsze: o ile to możliwe unikaj ułamków.
Zatem przekątne dzielą sie w stosunku \(\displaystyle{ 2x}\) oraz \(\displaystyle{ 3x}\) (zatem przkątna ma dlugość \(\displaystyle{ 5x}\)). Stąd wynika, że dłuższa podstawa ma długość \(\displaystyle{ 6x}\) (!). Zauważ, że powstają nam deltoidy.
Dalej - krótsza podstawa ma dlugość \(\displaystyle{ 4x}\).
teraz z tw. pitagorasa mamy \(\displaystyle{ \left( 2r\right)^{2} +x^2 = \left( 5x\right) ^2}\). stąd łatwo obliczasz przekątną.
-
ksared
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 20 maja 2015, o 23:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 6 razy
Okrąg wpisany w trapez.
Dobra mam parę obliczeń, które i tak nic mi nie dają.
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}y}\)
\(\displaystyle{ c = ramie}\)
\(\displaystyle{ c=x+y}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{5}{3}y}\)
\(\displaystyle{ b=2 \cdot x}\)
bo bok \(\displaystyle{ x}\) to połowa krótszej podstawy oraz dłuższa podstawa - \(\displaystyle{ a=2 \cdot \frac{3}{5}a}\)
Dalej wychodzi mi, że podstawa trójkąta utworzonego z ramienia oraz wysokości trapezu - \(\displaystyle{ d= \frac{a-b}{2}}\), po podstawieniu odpowiednich danych za \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), wychodzi, że \(\displaystyle{ d= \frac{1}{3}y}\). Da się jeszcze coś z tym zrobić?
Edit:
Słuszna uwaga z tymi przekątnymi
Dzięki za pomoc. Zaraz spróbuję coś z tym wykombinować.
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}y}\)
\(\displaystyle{ c = ramie}\)
\(\displaystyle{ c=x+y}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{5}{3}y}\)
\(\displaystyle{ b=2 \cdot x}\)
bo bok \(\displaystyle{ x}\) to połowa krótszej podstawy oraz dłuższa podstawa - \(\displaystyle{ a=2 \cdot \frac{3}{5}a}\)
Dalej wychodzi mi, że podstawa trójkąta utworzonego z ramienia oraz wysokości trapezu - \(\displaystyle{ d= \frac{a-b}{2}}\), po podstawieniu odpowiednich danych za \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), wychodzi, że \(\displaystyle{ d= \frac{1}{3}y}\). Da się jeszcze coś z tym zrobić?
Edit:
Słuszna uwaga z tymi przekątnymi
Dzięki za pomoc. Zaraz spróbuję coś z tym wykombinować.