czworokąt wpisany w półkole

[wielkireturner]

Proszę o rozwiązanie elementarne, bez biegunowych
W półkole o średnicy \(\displaystyle{ KL}\) wpisano czworokąt \(\displaystyle{ KLMN}\). Boki \(\displaystyle{ KN}\) i \(\displaystyle{ LM}\) przedłużono do przecięcia się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że prosta \(\displaystyle{ PQ}\), gdzie \(\displaystyle{ Q}\) jest punktem przecięcia przekątnych czworokąta \(\displaystyle{ KLMN}\), jest prostopadła do boku \(\displaystyle{ KL}\) tego czworokąta.

[bakala12]

Zastanawiałeś się nad tym w ogóle? Bo to wystarczy narysować i rozwiązanie jest jednolinijkowe. Spróbuj popatrzeć samemu.
W razie problemów wskazówki i rozwiązanie.

hint1:    

\(\displaystyle{ \angle KML = \angle LNK = 90 ^ {\circ}}\)

hint2:    

Spójrz na trójkąt \(\displaystyle{ \Delta KLP}\)

rozwiązanie:    

Czym są odcinki \(\displaystyle{ KM}\) i \(\displaystyle{ LN}\) w trójkącie \(\displaystyle{ \Delta KLP}\)? Dlaczego z tego wynika teza zadania?

[karolex123]

Można też tak: oczywiście \(\displaystyle{ |\angle KML|=|\angle LNK|=90 ^{\circ}}\). Nietrudno już dostrzec, że na czworokątach \(\displaystyle{ KLMN}\) oraz \(\displaystyle{ MPNQ}\) można opisać okrąg. Stąd od razu \(\displaystyle{ |\angle LKM|=|\angle LNM|=|\angle QPM|}\), ponadto \(\displaystyle{ |\angle KLP|=90 ^{\circ} -|\angle LKM|}\), co kończy dowód.