Długości dwóch boków trójkąta wynoszą \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 5}\), a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(\displaystyle{ 1}\). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.
Zrobiłem rysunek i oznaczając przy trzecim boku odległość od jednego wierzchołka do miejsca, gdzie pada promień okręgu na ten bok \(\displaystyle{ a}\) i odległość od tego miejsca do drugiego wierzchołka \(\displaystyle{ b}\), zauważyłem, że \(\displaystyle{ 5 - a = 3 -b}\). Następnie brak pomysłu, próbowałem ze wzoru \(\displaystyle{ r = \sqrt{ \frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p} }}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) to kolejne boki trójkąta a \(\displaystyle{ p}\) to połowa jego obwodu, ale nie mogłem się doliczyć ze względu na trzeci stopień wielomianu i brak pierwiastków wymiernych. Tutaj też miałbym prośbę o wyprowadzenie tego wzoru albo chociaż wskazówkę, jak to zrobić.
Pytanie o wzór już nieaktualne, poradziłem sobie ze wzoru Herona .
Okrąg wpisany w trójkąt i wzór
- kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Okrąg wpisany w trójkąt i wzór
\(\displaystyle{ a=3 \\
b=5 \\ \\
p= \frac{3+5+c}{2}= \frac{8+c}{2} \Rightarrow c=2p-8}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{ \frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}} \\ \\
1= \frac{(p - 3)(p - 5)(p - 2p+8)}{p} \\ \\
p=(p - 3)(p - 5)(8-p)}\)
Po wymnożeniu i uporządkowaniu dostajesz
\(\displaystyle{ -p ^{3}+16p ^{2}-80p+120=0}\)
Szukasz pierwiastków wymiernych wśród podzielników \(\displaystyle{ 120}\). Wiadomo, że obwód \(\displaystyle{ 2p}\) musi być większy od sumy dwóch znanych boków i mniejszy od ich podwojonej sumy (żeby trójkąt się nie zredukował do odcinka), czyli
\(\displaystyle{ 8<2p<16 \Rightarrow 4<p<8}\). Zostają, więc do sprawdzenia liczby \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 6}\).
Pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ p=6 \Rightarrow c=2 \cdot 6-8=4}\)
b=5 \\ \\
p= \frac{3+5+c}{2}= \frac{8+c}{2} \Rightarrow c=2p-8}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{ \frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}} \\ \\
1= \frac{(p - 3)(p - 5)(p - 2p+8)}{p} \\ \\
p=(p - 3)(p - 5)(8-p)}\)
Po wymnożeniu i uporządkowaniu dostajesz
\(\displaystyle{ -p ^{3}+16p ^{2}-80p+120=0}\)
Szukasz pierwiastków wymiernych wśród podzielników \(\displaystyle{ 120}\). Wiadomo, że obwód \(\displaystyle{ 2p}\) musi być większy od sumy dwóch znanych boków i mniejszy od ich podwojonej sumy (żeby trójkąt się nie zredukował do odcinka), czyli
\(\displaystyle{ 8<2p<16 \Rightarrow 4<p<8}\). Zostają, więc do sprawdzenia liczby \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 6}\).
Pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ p=6 \Rightarrow c=2 \cdot 6-8=4}\)
- Larsonik
- Użytkownik
- Posty: 267
- Rejestracja: 17 lut 2016, o 11:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódzkie
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 40 razy
Okrąg wpisany w trójkąt i wzór
Ja próbowałem uzależnić wszystko od \(\displaystyle{ a}\), wydawało mi się, ze poprawnie, byc może błąd w obliczeniach. W tą stronę jednak jest łatwiej, dzięki .