Witam, robiąc sprawozdanie z fizyki natknąłem się na pewien problem z geometrii, którego nie potrafię samodzielnie rozwiązać.
Otóż chcę mając kąt \(\displaystyle{ \beta}\) wyliczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) znając promienie obu okręgów. W jaki sposób to zrobić?
Z góry bardzo dziękuję za pomoc!
Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie
Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie
Czy ta linia dzieli te trójkąty równoramienne na dwie równe części?
Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie
No to mój pomysł jest następujący:
Te dwa trójkąty równoramienne mają wspólną podstawę, kwadrat jej długości wynosi:
\(\displaystyle{ a^2=2r_2^2(1-\cos\beta)}\)
Kwadrat długości ramienia mniejszego trójkąta równoramiennego:
\(\displaystyle{ d^2=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\frac{\beta}{2}}\)
Cosinus szukanego kąta:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=1-\frac{a^2}{2d^2}}\)
Podstawiamy wcześniej wyliczone \(\displaystyle{ a^2}\) i \(\displaystyle{ d^2}\) i rozwiązujemy równanie trygonometryczne.
Te dwa trójkąty równoramienne mają wspólną podstawę, kwadrat jej długości wynosi:
\(\displaystyle{ a^2=2r_2^2(1-\cos\beta)}\)
Kwadrat długości ramienia mniejszego trójkąta równoramiennego:
\(\displaystyle{ d^2=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\frac{\beta}{2}}\)
Cosinus szukanego kąta:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=1-\frac{a^2}{2d^2}}\)
Podstawiamy wcześniej wyliczone \(\displaystyle{ a^2}\) i \(\displaystyle{ d^2}\) i rozwiązujemy równanie trygonometryczne.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 3 mar 2014, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 2 razy
Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie
Dziękuję za pomoc, znowu nie zauważyłem, że można użyć twierdzenia cosinusów... Geometria to moja słaba strona. -- 12 kwi 2016, o 19:09 --Mógłbyś, proszę wyjaśnić skąd się wzięło ostatnie równanie?
- kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie
Z tw. cosinusów dla mniejszego trójkąta równoramiennego masz
\(\displaystyle{ a ^{2}=2d ^{2}-2d ^{2} \cos \alpha}\)
Wylicz cosinus.
\(\displaystyle{ a ^{2}=2d ^{2}-2d ^{2} \cos \alpha}\)
Wylicz cosinus.