Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
radzak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 3 mar 2014, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie

Post autor: radzak »

Witam, robiąc sprawozdanie z fizyki natknąłem się na pewien problem z geometrii, którego nie potrafię samodzielnie rozwiązać.
AU
AU
Otóż chcę mając kąt \(\displaystyle{ \beta}\) wyliczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) znając promienie obu okręgów. W jaki sposób to zrobić?

Z góry bardzo dziękuję za pomoc!
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie

Post autor: dec1 »

Czy ta linia dzieli te trójkąty równoramienne na dwie równe części?
radzak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 3 mar 2014, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie

Post autor: radzak »

tak
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie

Post autor: dec1 »

No to mój pomysł jest następujący:

Te dwa trójkąty równoramienne mają wspólną podstawę, kwadrat jej długości wynosi:
\(\displaystyle{ a^2=2r_2^2(1-\cos\beta)}\)

Kwadrat długości ramienia mniejszego trójkąta równoramiennego:
\(\displaystyle{ d^2=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\frac{\beta}{2}}\)

Cosinus szukanego kąta:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=1-\frac{a^2}{2d^2}}\)

Podstawiamy wcześniej wyliczone \(\displaystyle{ a^2}\) i \(\displaystyle{ d^2}\) i rozwiązujemy równanie trygonometryczne.
radzak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 3 mar 2014, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie

Post autor: radzak »

Dziękuję za pomoc, znowu nie zauważyłem, że można użyć twierdzenia cosinusów... Geometria to moja słaba strona. -- 12 kwi 2016, o 19:09 --Mógłbyś, proszę wyjaśnić skąd się wzięło ostatnie równanie?
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Zależność między kątami w okręgu rozłącznym wewnętrznie

Post autor: kropka+ »

Z tw. cosinusów dla mniejszego trójkąta równoramiennego masz

\(\displaystyle{ a ^{2}=2d ^{2}-2d ^{2} \cos \alpha}\)

Wylicz cosinus.
ODPOWIEDZ