Styczne do średnicy

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ AB}\) będzie średnicą okręgu a inny punkt \(\displaystyle{ X}\) jest na tym okręgu a \(\displaystyle{ t_A, t_B, t_X}\) będą stycznymi do tego okręgu w punktach \(\displaystyle{ A, B, X}\). I niech \(\displaystyle{ Z}\) jest na prostej \(\displaystyle{ AX}\) i \(\displaystyle{ t_B}\) zaś \(\displaystyle{ Y}\) jest na prostej \(\displaystyle{ BX}\) i \(\displaystyle{ t_A}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ YZ, t_X, AB}\) mają punkt wspólny lub też są równoległe.

[Pinionrzek]

Niech \(\displaystyle{ P=t_X \cap AB}\). Na mocy twierdzenia Menelaosa teza równoważna jest: \(\displaystyle{ \frac{AZ \cdot XY \cdot BP}{ZX \cdot BY \cdot AP}=1}\). Z potęgi punktu mamy jednak \(\displaystyle{ \frac{AZ}{ZX}=\frac{ZB^2}{ZX^2}, \ \frac{XY}{BY}=\frac{AY^2}{BY^2}, \frac{PB}{PA}= \frac{PX^2}{PA^2}}\), zatem wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ S=\frac{ZB \cdot AY \cdot PX}{ZX \cdot BY \cdot PA}=1}\). Z racji tego, że \(\displaystyle{ \triangle ZBX \sim \triangle AXY}\), mamy: \(\displaystyle{ \frac{ZX}{ZB}=\frac{AY}{AX}}\), skąd \(\displaystyle{ S=\frac{YA^2 \cdot PX}{AX \cdot YB \cdot PA}=\frac{YX \cdot YB \cdot PX}{AX \cdot BY \cdot PA}=\frac{XY \cdot PX}{AX \cdot PA}=\frac{AX \cdot PX}{BX \cdot PA}=1}\), gdyż \(\displaystyle{ \triangle APX \sim \triangle BXP}\).