Proste równoległe dzielące koło na trzy równe części

[icbn]

Dwie proste równoległe, równo oddalone od środka koła o promieniu \(\displaystyle{ r}\), dzielą je na trzy części o równych polach. Obliczyć odległość między prostymi.

Wykonałem taki oto rysunek:

AU

0Eurapr.jpg (14.24 KiB) Przejrzano 45 razy

Trzeba obliczyć długość odcinka \(\displaystyle{ CD}\).
\(\displaystyle{ x = \left| CD \right|}\)
\(\displaystyle{ r = \left| AS \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| DS \right| = \left| SC \right| = \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \left| \angle ASB \right|}\)

Próbowałem z pola odcinka koła (\(\displaystyle{ P_o}\)) policzyć \(\displaystyle{ \phi}\), ale coś mi nie wyszło.

\(\displaystyle{ P_o = \frac{r^2}{2}(\phi - \sin \phi)}\)
\(\displaystyle{ P_o = \frac{\pi r^2}{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{r^2}{2}(\phi - \sin \phi) =\frac{\pi r^2}{3}}\)

Z tego wychodzi:

\(\displaystyle{ \phi - \sin \phi = \frac{2\pi}{3}}\)

Z trójkąta prostego \(\displaystyle{ ASC}\):
\(\displaystyle{ \left| SC \right| = \frac{x}{2} = r \cdot \cos \frac{\phi}{2}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \phi - \sin \phi = \frac{2\pi}{3}}\)
oraz
\(\displaystyle{ x = 2r \cdot \cos \frac{\phi}{2}}\)

Tylko jak z tego policzyć \(\displaystyle{ x}\)?

[SlotaWoj]

• \(\displaystyle{ \left|\cos\frac{\varphi}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}}\)