Wyznaczanie długości wysokości opuszczonej na przeciwprost.

[vergil]

Polecenie: Dany jest trójkąt prostokątny, w którym obwód wynosi 40, a długośc przeciwprostokątnej 17. Wyznaczyć długości wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.

Najpierw zrobiłem układ równań z pitagorasem i obwodem. Wychodzi \(\displaystyle{ b=8 \vee b=15}\)
Czyli ponownie liczę pitagoresem (biorąc mały trójkąt z wysokością i połową przeciwprostokątnej):
\(\displaystyle{ (8,5)^{2} + 8^{2} = h^{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ (8,5)^{2} + 15^{2} = h^{2}}\)

Z czego wychodzą ułamki nie do spierwiastkowania. Czy wyniki \(\displaystyle{ \sqrt{136,25} \vee \sqrt{297,25}}\) są poprawne?

[dec1]

Wyniki nie są poprawne. \(\displaystyle{ h_c=\frac{ab}{c}}\)

[kmarciniak1]

Czyli ponownie liczę pitagoresem (biorąc mały trójkąt z wysokością i połową przeciwprostokątnej):
\(\displaystyle{ (8,5)^{2} + 8^{2} = h^{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ (8,5)^{2} + 15^{2} = h^{2}}\)

Z czego wychodzą ułamki nie do spierwiastkowania. Czy wyniki \(\displaystyle{ \sqrt{136,25} \vee \sqrt{297,25}}\) są poprawne?

Ogólnie to zrobiłeś błąd na samym początku bo ta wysokość nie dzieli przeciwprostokątnej na pół(narysuj sobie).

[vergil]

Czyli ponownie liczę pitagoresem (biorąc mały trójkąt z wysokością i połową przeciwprostokątnej):
\(\displaystyle{ (8,5)^{2} + 8^{2} = h^{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ (8,5)^{2} + 15^{2} = h^{2}}\)

Z czego wychodzą ułamki nie do spierwiastkowania. Czy wyniki \(\displaystyle{ \sqrt{136,25} \vee \sqrt{297,25}}\) są poprawne?

Ogólnie to zrobiłeś błąd na samym początku bo ta wysokość nie dzieli przeciwprostokątnej na pół(narysuj sobie).

Tak faktycznie może być. W takim razie należy wysokość policzyć ze wzoru zaproponowanego powyżej? Przy wartościach \(\displaystyle{ a=\frac{8}{15}}\) i \(\displaystyle{ b=\frac{8}{15}}\)?

[kmarciniak1]

Tak z wzoru który podał dec1,
A wiesz z czego wynika ten wzór?

[vergil]

Tak z wzoru który podał dec1,
A wiesz z czego wynika ten wzór?

Zastanawiałem się nad tym, ale nie znalazłem takiego wzoru. Więc jakby ktoś mógł ten wzór wyprowadzić.

[dec1]

Wynika to ze wzorów na pole trójkąta: \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}ih_i}\) dla \(\displaystyle{ i}\) będących bokami trójkąta (\(\displaystyle{ h_i}\) to wysokość opadająca na bok \(\displaystyle{ i}\)).

Dla \(\displaystyle{ i=c}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma=90^{\circ}}\) równanie wygląda tak: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab\sin 90^{\circ}=\frac{1}{2}ch_c}\). Sinus z \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) to jeden, więc po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ 2}\) i podzieleniu przez \(\displaystyle{ c}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ h_c=\frac{ab}{c}}\)

Edit: albo po prostu zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{ch_c}{2}=\frac{ah_a}{2}}\) i w trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ h_a=b}\).

[vergil]

Dzięki.

Jeszcze aby się upewnić:
\(\displaystyle{ h = \frac{8 \cdot 15}{17} = 7 \frac{1}{17}}\)
Tak?

[dec1]

Tak.