Dwusieczna kąta prostego i trójkąt w trójkącie

[Milczek]

Mamy trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ABC}\) z kątem prostym w wierzchołku \(\displaystyle{ C}\).
Wykaż że dwusieczna kąta prostego jest również dwusieczną kąta pomiędzy środkową a wysokością opuszczonymi na przeciwprostokątną.

Mamy dwusieczną kąta \(\displaystyle{ C}\).
Niech \(\displaystyle{ |CH|}\) to wysokość opuszczona z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) i niech \(\displaystyle{ |CP|}\) będzie środkową z zadania.

Chciałem wykazać że środki okręgów wpisanych w trójkąt
\(\displaystyle{ ABC}\) i trójkąt \(\displaystyle{ CPH}\) są współliniowe ale nic z tego mi nie wyszło póki co.
Czy mógłby ktoś wskazówką obdarować ?

[kerajs]

Wrzuć trójkąt w układ współrzędnych.
\(\displaystyle{ C=(0,0) \ , \ A=(0,a) \ , \ B=(b,0)}\)
Wysokość zawierająca punkt C ma równanie:
\(\displaystyle{ y= \frac{b}{a}x}\)
Środkowa zawierająca punkt C ma równanie:
\(\displaystyle{ y= \frac{a}{b}x}\)
Dwusieczna kąta C ma równanie:
\(\displaystyle{ y= x}\)
i jest jednocześnie dwusieczną ,,kąta pomiędzy środkową a wysokością opuszczonymi na przeciwprostokątną' dla dowolnego trójkata prostokątnego.