Przekątna trapezu równoramiennego \(\displaystyle{ ABCD}\) tworzy z dłuższą podstawą \(\displaystyle{ AB}\) kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) , a z ramieniem \(\displaystyle{ AD}\) - kąt \(\displaystyle{ \beta}\). Wyznacz stosunek pola trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).
Oto moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P_{acd}= \frac{\sin\beta \cdot \left| AC\right| \cdot \left| AD\right| }{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{abc}= \frac{\sin(2\alpha+\beta) \cdot \left| AC\right| \cdot \left| AD\right| }{2}}\)
Z tego:
\(\displaystyle{ \frac{P_{acd}}{P_{abc}} = \frac{\sin\beta}{\sin(2\alpha+\beta)}}\)
A odpowiedź jest trochę inna:
\(\displaystyle{ \frac{\tg(\alpha+\beta)-\tg\alpha}{\tg(\alpha+\beta)+\tg\alpha}}\)
I nie wiem czy mój pomysł jest zły, czy po prostu odpowiedź jest po jakiś przekształceniach, jeśli tak to jakich?
Wyznacz stosunek pola trójkąta ACD do pola trójkąta ABC
Wyznacz stosunek pola trójkąta ACD do pola trójkąta ABC
Te wyrażenia są sobie równe, wynika to ze wzoru na sumę/różnicę tangensów:
\(\displaystyle{ \tg x \pm \tg y=\frac{\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}\)
Mianowicie:
\(\displaystyle{ \frac{\tg(\alpha+\beta)-\tg\alpha}{\tg(\alpha+\beta)+\tg\alpha}=\frac{\sin\beta}{\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha}\cdot\frac{\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha}{\sin(2\alpha+\beta)}=\frac{\sin \beta}{\sin(2 \alpha+ \beta)}}\)
\(\displaystyle{ \tg x \pm \tg y=\frac{\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}\)
Mianowicie:
\(\displaystyle{ \frac{\tg(\alpha+\beta)-\tg\alpha}{\tg(\alpha+\beta)+\tg\alpha}=\frac{\sin\beta}{\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha}\cdot\frac{\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha}{\sin(2\alpha+\beta)}=\frac{\sin \beta}{\sin(2 \alpha+ \beta)}}\)