Wyznacz stosunek pola trójkąta ACD do pola trójkąta ABC

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Artut97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 318
Rejestracja: 18 paź 2015, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 1 raz

Wyznacz stosunek pola trójkąta ACD do pola trójkąta ABC

Post autor: Artut97 »

Przekątna trapezu równoramiennego \(\displaystyle{ ABCD}\) tworzy z dłuższą podstawą \(\displaystyle{ AB}\) kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) , a z ramieniem \(\displaystyle{ AD}\) - kąt \(\displaystyle{ \beta}\). Wyznacz stosunek pola trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

Oto moje rozwiązanie:



\(\displaystyle{ P_{acd}= \frac{\sin\beta \cdot \left| AC\right| \cdot \left| AD\right| }{2}}\)

\(\displaystyle{ P_{abc}= \frac{\sin(2\alpha+\beta) \cdot \left| AC\right| \cdot \left| AD\right| }{2}}\)

Z tego:

\(\displaystyle{ \frac{P_{acd}}{P_{abc}} = \frac{\sin\beta}{\sin(2\alpha+\beta)}}\)

A odpowiedź jest trochę inna:

\(\displaystyle{ \frac{\tg(\alpha+\beta)-\tg\alpha}{\tg(\alpha+\beta)+\tg\alpha}}\)

I nie wiem czy mój pomysł jest zły, czy po prostu odpowiedź jest po jakiś przekształceniach, jeśli tak to jakich?
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Wyznacz stosunek pola trójkąta ACD do pola trójkąta ABC

Post autor: dec1 »

Te wyrażenia są sobie równe, wynika to ze wzoru na sumę/różnicę tangensów:
\(\displaystyle{ \tg x \pm \tg y=\frac{\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}\)
Mianowicie:
\(\displaystyle{ \frac{\tg(\alpha+\beta)-\tg\alpha}{\tg(\alpha+\beta)+\tg\alpha}=\frac{\sin\beta}{\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha}\cdot\frac{\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha}{\sin(2\alpha+\beta)}=\frac{\sin \beta}{\sin(2 \alpha+ \beta)}}\)
ODPOWIEDZ