Matematyka.pl

1) Na okręgu o promieniu 5cm opisano trójkąt prostokątny o jednej przyprostokątnej 12cm. Oblicz długość pozostałych boków.

2) Na okręgu o promieniu r=6cm opisano trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie równym 30 stopni. Oblicz długości boków trójkąta i jego pole.

3) Rozważmy koło wpisane w trójkąt równoramienny o podstawie długości 6cm i wysokości 5cm oraz koło wpisane w trójkąt równoramienny o podstawie długości 10cm i wysokości 6cm. Oblicz różnicę powierzchni pól tych kół.

4) Znajdź środek oraz promień okręgu opisane na trójkącie ABC jeśli:
a) A(-2,2) B(4,-4) C(12,2)
b) A(-4,4) B(0,0) C(5,3)
c) A(-3,3) B(3,-3) C(5,3)

5) Jakie największe pole może mieć trójkąt prostokątny wpisany w okrąg o promieniu 5?

Proszę o pomoc w tych zadaniach... wzory i skąd je się wzięło...

1)
a oraz b to przyprostokątne
c przeciwprostokatna oraz r promiń
\(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\)
\(\displaystyle{ 5=\frac{12+b-c}{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\)
dalej
\(\displaystyle{ 25+b^{2}=c^{2}}\)
\(\displaystyle{ c=\sqrt{25+b^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 10=12+b-\sqrt{25+b^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{25+b^{2}}=b+2}\) podnieś obie strony do kwadratu i wyznacz b potem c

5) Jeśli trójkąt prostokatny wpiszemy w okrąg to przeciwprostokątna będzie średnicą okręgu, czyli tutaj \(\displaystyle{ a=2*5=10}\). Potraktujmy naszą średnicę jako podstawę trójkąta. Łatwo zauważyć, że największa możliwa wysokość naszego trójkąta jest równa promieniowi (zrób rysunek to się przekonasz). Czyli największe pole wynosi:
\(\displaystyle{ max{P}=\frac{1}{2}*a*max{h}=\frac{1}{2}*10*5=25}\)

Ad.3
Pierwszy trójkąt o podstawie 6cm i wysokości 5cm
x- długość ramienia
\(\displaystyle{ 5^{2}+3^{2}=x^{2}}\)
stąd wyliczasz x
\(\displaystyle{ x=\sqrt{34}}\)
Teraz liczymy pole trójkąta P=15
pół obwodu p=x+3=\(\displaystyle{ \sqrt{34}}\)+3
teraz wyznaczam r ze wzoru:
P=r*p
r=P/p
r=\(\displaystyle{ \frac{15}{\sqrt{34}+3}}\)

Liczymy pole koła

Drugi trójką rozwiązujemy analogicznie do pierwszego, a następnie odejmójemy pola (po drodze należy pamiętać o uwalnianiu od niewymierności)