Pole czworokąta

[sheeze]

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie P. Oblicz pole tego czworokąta wiedząc, że pola trójkątów ABP, BCP i CDP są równe odpowiednio 3, 4, 5.

Pewnie bardzo proste, ale nie mogę na nic wpaść. Proszę o wskazówki:)

[kerajs]

\(\displaystyle{ P _{ABP}P _{CDP}=P _{BCP}P _{ADP}}\)
\(\displaystyle{ P _{ADP}= \frac{3 \cdot 5}{4}}\)

[sheeze]

a z czego to wynika?

[kerajs]

Niech przekątne to: \(\displaystyle{ p_1=\left| AC\right| ,\ p_2=\left| BD\right|}\)
i ich odcinki: \(\displaystyle{ k_1=\left| AP\right| ,\ k_2=\left| BP\right|}\)
oraz \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt APD.
\(\displaystyle{ P _{ABP}P _{CDP}=\left[ \frac{1}{2}k_1k_2\sin ( \pi - \alpha ) \right] \left[ \frac{1}{2}(p_1-k_1)(p_2-k_2)\sin ( \pi - \alpha ) \right] =\\=\frac{1}{2}k_1k_2\sin \alpha \cdot \frac{1}{2}(p_1-k_1)(p_2-k_2)\sin \alpha =\left[ \frac{1}{2}(p_1-k_1)k_2\sin \alpha \right] \left[ \frac{1}{2}k_1(p_2-k_2)\sin \alpha \right] =\\=P _{BCP}P _{ADP}}\)

[sheeze]

dzięki:)

[Kartezjusz]

Ciut prościej. Dwa trójkąty będą miały taką samą wysokość, następne dwa-podstawę. Stosunek pól przenosi się w takich wypadkach na stosunek odcinków.