okrąg, punkt, zbiór punktów

[wielkireturner]

Niech dany będzie okrąg wewnątrz którego leży punkt \(\displaystyle{ P}\). Wyznaczyć zbiór środków wszystkich cięciw okręgu przechodzących przez \(\displaystyle{ P}\)
Prawdopodobnie będzie to okrąg o średnicy \(\displaystyle{ PO}\), gdzie \(\displaystyle{ O}\) - środek większego okręgu, tylko jak to udowodnić?

[Poszukujaca]

Moja intuicja też podpowiada, że właśńie tak będzie.

Im bliżej punkt \(\displaystyle{ P}\) leży punktu \(\displaystyle{ O}\) czyli środka okręgu, tym mniejsze jest to koło. W przypadku szczególnym, gdy punkty te pokrywają się, to szukanym zbiorem jest zbiór jednoelementowy \(\displaystyle{ \left\{ P \right\}}\).

[kerajs]

Może z użyciem geometrii analitycznej:
Szukam punktów wspólnych okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\) z prostą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ (0,k)}\) gdzie \(\displaystyle{ 0<k<r}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=r^2 \\ y=ax+k \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (1+a^2)x^2+2akx+k^2-r^2=0}\)
Rozwiązania tego równania dają współrzędne środków cięciw
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{x_1+x_2}{2} \\ y= \frac{y_1+y_2}{2}\end{cases} =
\begin{cases} x= \frac{x_1+x_2}{2} \\ y= \frac{ax_1+k+ax_2+k}{2}\end{cases} =
\begin{cases} x= \frac{x_1+x_2}{2} \\ y= a\frac{x_1+x_2}{2}+k\end{cases} =
\begin{cases} x= \frac{-ak}{a^2+1} \\ y=a\frac{-ak}{a^2+1}+k \end{cases}=}\)
Wyrugowanie parametru ,,a' z ostatniego układu równan da szukany zbiór punktów czyli okrąg:
\(\displaystyle{ =\begin{cases} x= -ay \\ y=\frac{k}{a^2+1} \end{cases}
\begin{cases} a= \frac{-x}{y} \\ y(a^2+1)=k \end{cases}=}\)
\(\displaystyle{ y\left( (\frac{-x}{y} )^2+1\right)=k \\
y^2+x^2=ky}\)
\(\displaystyle{ x^2+(y- \frac{k}{2} )^2=(\frac{k}{2} )^2}\)


Edit:
Ech, rysunek Pana Mechanika to świetny przykład jak kąt prosty potrafi dać prosty wynik.

[kruszewski]

Myślę, że ten rysunek dostatecznie objaśnia powód dla którego środki \(\displaystyle{ C}\) cięciw \(\displaystyle{ p}\) danego okręgu przechodzące przez stały punkt \(\displaystyle{ P}\) przynależą do okręgu \(\displaystyle{ k}\) którego średnicą jest odcinek \(\displaystyle{ PO}\)

[a4karo]

kruszewski, śliczne