Trójkąt , pole , wykaż

[Milczek]

Długości boków trójkąta to kolejne liczby naturalne. Najmniejszy kąt wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\) a największy \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Oblicz wartości tych boków.
Założenia \(\displaystyle{ n \in N \wedge 2\alpha \in\left( 0,180\right)}\)
Mamy równość
\(\displaystyle{ n(n+1)\sin 2\alpha =(n+1)(n+2)\sin \alpha \Leftrightarrow \\
n \cdot \sin 2 \alpha = (n+2) \sin \alpha \Leftrightarrow \\
2n \cdot \sin \alpha \cos \alpha = (n+2)\sin \alpha}\)
Wiadomo że \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0,90\right)}\) więc na pewno \(\displaystyle{ \sin \alpha \neq 0}\) więc możemy doprowadzić do takiej postaci
\(\displaystyle{ 2n \cos \alpha = n+2}\) , prawa strona jest liczbą naturalną więc lewa także lecz wtedy musi zachodzić\(\displaystyle{ \cos \alpha = 1}\) co kompletnie nie idzie w parze ze wcześniejszymi ustaleniami..

Chodzi mi konkretnie co w tym podejściu popsułem.

[norwimaj]

Z tego, że \(\displaystyle{ 2n \cos \alpha}\) jest liczbą naturalną, nie wynika, że \(\displaystyle{ \cos\alpha=1.}\)

[Milczek]

Faktycznie, dzięki wielkie.