równość kątów

[alfred0]

Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie czworokątem wypukłym gdzie \(\displaystyle{ AB}\) jest równoległe do \(\displaystyle{ CD}\). Niech P oraz Q będą odpowiednio środkami \(\displaystyle{ AC}\) oraz \(\displaystyle{ BD}\). Pokaż ze jeśli \(\displaystyle{ \angle ABP= \angle CBD}\), to \(\displaystyle{ \angle BCQ= \angle ACD.}\)

[bakala12]

Rozwiązanie:    

Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie punktem przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\). Ponieważ oczywiście trójkąty \(\displaystyle{ ASB}\) i \(\displaystyle{ CSD}\) są podobne to: \(\displaystyle{ \frac{AS}{SC} = \frac{BS}{SD} = \frac{AB}{CD}}\). Wobec tego stąd \(\displaystyle{ \frac{AS \cdot BS}{CS \cdot DS} = \left(\frac{AB}{CD}\right)^{2}}\). Łatwo zauważyć, że prosta \(\displaystyle{ BD}\) jest symedianą w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) (dlaczego?), więc z twierdzenia o symedianie: \(\displaystyle{ \frac{AS}{SC} = \left(\frac{AB}{BC}\right)^{2}}\). Łącząc dwie ostatnie równości dostajemy: \(\displaystyle{ \frac{BS}{DS} = \left(\frac{BC}{CD}\right)^{2}}\) a to oznacza, że prosta \(\displaystyle{ AC}\) jest symedianą w trójkącie \(\displaystyle{ BCD}\), a to natychmiast implikuje fakt, że \(\displaystyle{ \angle ACD = \angle BCQ}\), a to należało wykazać.