Przekątne trapezu

[Dario1]

Przekątne trapezu podzieliły trapez na cztery trójkąty. Niech \(\displaystyle{ P _{1},P _{2},P _{3},P _{4}}\) oznaczają pola tych trójkątów. Oblicz pole trapezu, wiedząc, że \(\displaystyle{ P _{1}=14,P _{2}=35}\).

Jakimś cudem wyszło mi, że pole tego trapezu będzie równe 98, ale to chyba nie jest dobrze.

[kerajs]

A znane jest położenie trójkatów o podanych polach?
Gdyby zawierały podstawy trapezu to szukane pole wynosi:
\(\displaystyle{ P=14( \frac{7}{2} + \sqrt{10} )}\)

[Dario1]

Nie jest znane. A jeśliby założyć, że dane są pola trójkątów, gdzie jeden zawiera jedną z podstaw, a drugi jedno z ramień?

[piasek101]

Trójkąty lewy i prawy mają jednakowe pola + podobieństwo górnego i dolnego.

[Dario1]

No ta, to, że lewy i prawy mają równe pola doszedłem do tego. A jak z górnego dolny wziąść?

[piasek101]

\(\displaystyle{ a;x;b;y}\) - podstawa (np dolna); wysokość dolnego trójkąta; druga podstawa; druga wysokość.
\(\displaystyle{ x+y=h}\)
Przyjmijmy, że masz dane pole dolnego trójkąta.

\(\displaystyle{ ax=70}\)

\(\displaystyle{ ah=98}\) po podzieleniu masz \(\displaystyle{ x:h = 70:98}\) (skrócić) wstawić do pierwszego np za (x), znaleźć skalę podobieństwa dolnego do górnego.

[Dario1]

Czyli z tego by wynikało, że skala podobieństwa jest \(\displaystyle{ 5:2}\). Czyli z tego by wynikało, że pole górnego jest równe \(\displaystyle{ 14}\). Czyli całość by wyniosła \(\displaystyle{ 77}\). Zgadza się?

[kerajs]

1.Niech pole trójkąta zawierającego podstawę ,,x' trapezu wynosi \(\displaystyle{ 14= \frac{1}{2} xh}\)
Trójkąt podobny (w skali k ) zawierający drugą podstawę trapezu to wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2} kx \cdot kh=14k^2}\)
Porównując pola trapezu:
\(\displaystyle{ \frac{x+kx}{2} \cdot (h+hk)=14+35+35+14k^2 \\
\frac{xh}{2}(1+k)^2=84+14k^2 \\
14 (1+k)^2=84+14k^2 \\
k= \frac{5}{2}}\)
stąd pole trapezu
\(\displaystyle{ P=171,5}\)

2.Niech pole trójkąta zawierającego podstawę ,,x' trapezu wynosi \(\displaystyle{ 35= \frac{1}{2} xh}\)
...
\(\displaystyle{ k<0}\)