W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
mark939
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 25 gru 2015, o 10:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: mark939 »

W okrąg wpisano ośmiokąt \(\displaystyle{ A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8}\) tak, że czworokąt \(\displaystyle{ A_1 A_3 A_5 A_7}\) jest prostokątem o polu równym \(\displaystyle{ 4}\), a czworokąt \(\displaystyle{ A_2 A_4 A_6 A_8}\) kwadratem o polu \(\displaystyle{ 5}\). Jakie jest największe pole takiego ośmiokąta?
Ostatnio zmieniony 6 mar 2016, o 13:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: kerajs »

Wskazówki na początek:
1. Z kwadratu oblicz promień opisanego okręgu.
2. Znając przekątną prostokąta (średnica okregu) i jego pole oblicz jego boki.
mark939
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 25 gru 2015, o 10:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: mark939 »

1.
\(\displaystyle{ P= 5 \\
a ^{2} =5 \\
a= \sqrt{5} \\
d=a \sqrt{2} \\
d= \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \\
d= \sqrt{10} \\
r= \frac{ \sqrt{10} }{2}}\)


2. przekątna prostokąta to \(\displaystyle{ \sqrt{10} (e)}\)
\(\displaystyle{ e=\sqrt{10} \\
e= \sqrt{ a^{2}+b ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ a}\)- bok pierwszy
\(\displaystyle{ b= \sqrt{10-a ^{2} }}\) - bok drugi

\(\displaystyle{ P=a \cdot \sqrt{10-a ^{2} } =4/ ^{2} \\
a ^{4} -10a ^{2} +16=0 \\
t=a ^{2} \\
t ^{2} -10t+16=0\\
t _{1} = 8 \vee t _{2}= 2\\
a=2\sqrt{2} \vee a= \sqrt{2}\\
\Rightarrow b = \sqrt{2} \vee b=2\sqrt{2}}\)

Boki prostokąta to para liczb: \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\)
Ostatnio zmieniony 6 mar 2016, o 13:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: kruszewski »

Uwaga ogólna, wtedy, kiedy wspólne pole prostokąta i kwadratu (nałożonych na siebie i mających wierzchołki na obwodzie okręgu) będzie najmniejsze.
W.Kr.
mark939
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 25 gru 2015, o 10:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: mark939 »

Domyślam się że trzeba ułożyć funkcje z 1 nie wiadomą opisującą to pole niestety nie wiem jak
Skoro to co mówisz jest prawdą to wspólne pole będzie równe 5 i prostokąt będzie się zawierał w kwadracie tak ?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: kerajs »

Radziłbym wpierw policzyć pole ośmiokąta gdy
a) symetralna prostokąta pokrywa się z symetralną kwadratu niebędącą jego przekątną
b) przekątne kwadratu i prostokąta się pokrywają
c) symetralna prostokąta pokrywa się z symetralną kwadratu będącą jego przekątną

Co do funkcji to radziłbym kąt miedzy wspomnianymi w punkcie a) i dwa przedziały
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \arctg \frac{1}{2} \vee \arctg \frac{1}{2}< \alpha \le \frac{\pi}{4}}\)

Ps. Zgaduję że maksimum będzie w a) , a minimum w c)

Edit)
W b) będzie sześciokąt ale warto jego pole porównać z c)
Ostatnio zmieniony 5 mar 2016, o 18:47 przez kerajs, łącznie zmieniany 2 razy.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: kruszewski »

Wyznaczyć minimum pola zacienionego czworoboku w funkcji zaznaczonego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)

mark939
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 25 gru 2015, o 10:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: mark939 »

A możesz to wykazać albo jakoś uzasadnić ze wtedy pole ośmiokąta będzie największe ?
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: kruszewski »

Jak zauważamy, pole tego ośmiokąta to suma:
prostokąta i kwadratu pomniejszona o wspólną ich część czyli suma:
dwu mniejszych trapezów powiększona o sumę dwu większych trapezów i pole równoległoboku jako części wspólnej. Im mniejsze będzie pole tego równoległoboku, czyli części wspólnej , tym większe będzie pole ośmiokąta.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: kerajs »

alfa- kąt miedzy dłuższą symetralna prostokąta i symetralną kwadratu niebędącą jego przekątną
Dla\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \arctg \frac{1}{2}}\) pole ośmiokąta to:
\(\displaystyle{ P( \alpha )= \frac{1}{2} P _{kw}+2\left[ \frac{1}{2}r^2 \sin( \frac{\pi}{4}- \alpha - \beta ) + \frac{1}{2}r^2 \sin( 2 \beta ) + \frac{1}{2}r^2 \sin( \frac{\pi}{4}+ \alpha - \beta ) \right]}\)
gdzie podwojone beta to kąt ostry miedzy przekątnymi prostokąta \(\displaystyle{ \beta =\arctg \frac{1}{2}}\)
mark939
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 25 gru 2015, o 10:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: mark939 »

niestety nie zbyt rozumiem te arc wiem że chodzi o dopełnienia funkcji ale mało mi to daje tego niestety nie ma w liceum nawet na rozszerzeniu, mogę prosić o wyjaśnienie albo zastąpienie tego czymś innym?

A co do samego konta (tak jak na rysunku) to mogę prosić o pomoc jak go obliczyć tzn jak obliczyć pole tego równoległoboku bo nie wiadomo jaki jest kont i jakie długości i nie wiem co dalej
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: kruszewski »

Zauważmy, że kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między odpowiednimi bokami, kąt przechylenia prostokąta względem kwadratu. Zauważmy i to, że wysokość równoległoboku ma miarę mniejszego, krótszego boku prostokąta oraz i to, że podstawa równoległoboku \(\displaystyle{ b}\) równa jest \(\displaystyle{ b= \frac{c}{\cos \alpha }}\) a jego pole \(\displaystyle{ A=a \cdot b =a \cdot \frac{c}{\cos \alpha }}\) i osiąga minimum dla maksimum \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) co zachodzi dla \(\displaystyle{ \alpha =0}\), zatem wtedy, kiedy odpowiednie boki tych czworokątów, kwadratu i prostokąta są prostopadłe do siebie.
Ostatnio zmieniony 6 mar 2016, o 13:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
mark939
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 25 gru 2015, o 10:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: mark939 »

nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ \frac{c}{\cos \alpha }}\) i skoro funkcja pola ma 3 niewiadome i określasz wartość najmniejszą i bierzesz pod uwagę tylko 1 niewiadomą (z 3) to jak dla mnie coś tu nie gra. Z wynikiem oczywiście sie zgadzam ale wolał bym abyś udowodnił swoje rozumowanie bo myśle że to za mało
Ostatnio zmieniony 6 mar 2016, o 13:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: kruszewski »

Jakie trzy? Boki tych czworoboków zostały obliczone wcześniej. Zatem są już wiadomymi.
Twój post z godziny: 5 mar 2016, o 17:16
mark939
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 25 gru 2015, o 10:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

W okrąg wpisano ośmiokąt ......

Post autor: mark939 »

Tak właściwie to masz racje ale możesz mi wytłumaczyć jak wyznaczyłeś b ?
ODPOWIEDZ