W trapezie równoramiennym

[Dario1]

W trapezie równoramiennym pole wynosi \(\displaystyle{ 16 \sqrt{2}}\) i przekątne przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ 45}\) stopni. Wyznacz ich długości.

Motałem się z tym zadaniem, ale nie potrafię go zrobić, mimo, że kiedyś robiłem tego typu zadania.

[kerajs]

Przekątne o długości ,,p' przecinają się na części \(\displaystyle{ a \ , \ p-a}\)
\(\displaystyle{ 16 \sqrt{2} = \frac{1}{2}a^2\sin 45 ^{\circ}+\frac{1}{2}a(p-a)\sin 135 ^{\circ}+ \frac{1}{2}(p-a)^2\sin 45 ^{\circ}+\frac{1}{2}a(p-a)\sin 135 ^{\circ}\\
16 \sqrt{2}= \frac{ \sqrt{2} }{4}\left[ a^2+2a(p-a)+(p-a)^2\right] \\
16 \sqrt{2}= \frac{ \sqrt{2} }{4}p^2}\)

[Dario1]

kurde jakie cwane. Kerajs jak Ty to robisz, że to widzisz? Ja patrzę na ten rysunek i nic nie widzę.

[kerajs]

Też nabierzesz praktyki.

1)

zadanko:    

Przekątne p,q czworokąta wypukłego przecinają się pod kątem alfa. Oblicz pole czworokąta.

Punkty przecięcia przekątnych dzieli je na \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ p-x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ q-y}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}xy\sin \alpha + \frac{1}{2}y(p-x)\sin (180-\alpha )+ \frac{1}{2}(p-x)(q-y)\sin \alpha +\\+ \frac{1}{2}x(q-y)\sin (180-\alpha )= \frac{1}{2}pq\sin \alpha}\)

I warto taki wzorek pamiętać
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}pq\sin \alpha}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ 16 \sqrt{2}= \frac{1}{2}p^2\sin 45^{\circ}}\)

2)
Niech podstawy trapezu to x i y
Z trójkątów (podobnych) zawierających te podstawy i fragmenty przekątnych a i p-a mam
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{x}{2} }{a}=\sin \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow x=2a \sin \frac{ \alpha }{2} \\
\frac{ h_{x}} }{a}=\cos \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow h_{x}=a \cos \frac{ \alpha }{2} \\
\frac{ \frac{y}{2} }{p-a}=\sin \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow x=2(p-a) \sin \frac{ \alpha }{2} \\
\frac{ h_{y}} }{a}=\cos \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow h_{y}=(p-a) \cos \frac{ \alpha }{2}}\)

\(\displaystyle{ 16 \sqrt{2}= \frac{x+y}{2} \cdot h=\frac{x+y}{2} \cdot (h_{x}+h_{y})}\)
wstaw wyliczone wcześniej wartości.