Wyciąć dwa maksymalne rozłączne koła z kartki formatu A4

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 3 mar 2016, o 10:17

Robiłem ostatnio zadanie:

Wyciąć z kartki A4 dwa koła(oczywiście rozłączne)tak, aby pozostało jak najmniej skrawków papieru.

Czyli dwa koła, których suma pól jest maksymalna. Zadanie jest pewnie znane, zrobiłem je i chciałbym sprawdzić wynik. Zakładamy że krótszy bok wynosi \(\displaystyle{ a}\). Wyszło mi, że promienie wyniosą \(\displaystyle{ r_1=\frac{1}{2}a}\) oraz \(\displaystyle{ r_2=a(\frac{1}{2}+\sqrt{2}- \sqrt[4]{8})}\)

pasman · Post autor: **pasman** » 3 mar 2016, o 12:21

mi wyszło \(\displaystyle{ r1=r2=\frac{a}{2 \sqrt{2}+2}}}\)

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 3 mar 2016, o 13:10

pasman, Coś mi się nie wydaje, żeby to było dobrze. Czy koła są styczne zewnętrznie? I czy każde jest styczne do dwóch sąsiednich boków prostokąta (ale w przeciwległych "narożnikach")?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 3 mar 2016, o 13:30

Jak poprowadzimy prostą dzielącą trapez na dwa trapezy prostokątne (lub trójkąty prostokątne), to największą sumę pól dadzą koła wpisane w nie.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 3 mar 2016, o 13:37

Przy założeniach :
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}- \frac{a}{2} -r>0 \wedge a-\frac{a}{2} -r>0}\)
z równania:
\(\displaystyle{ ( \frac{a}{2} +r)^2=(a \sqrt{2}- \frac{a}{2} -r)^2+( a-\frac{a}{2} -r)^2}\)
są rozwiązania:
\(\displaystyle{ r_1=a( \sqrt{2}+\frac{a}{2}- \sqrt[4]{8} ) \vee r_2=a( \sqrt{2}+\frac{a}{2}+ \sqrt[4]{8} )}\)
z których drugie nie spełnia pierwszego założenia.

Edit.
Boki trójkąta prostokątnego (gdzie dwa wierzchołki to środki okręgów, a trzeci to przecięcie prostych równoległych do boków i przechodzących przez te środki) powinny być dodatnie.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 3 mar 2016, o 13:39

Skąd masz drugie założenie?

pasman · Post autor: **pasman** » 3 mar 2016, o 14:10

kristoffwp pisze:pasman, Coś mi się nie wydaje, żeby to było dobrze.?

oops rzeczywiście, myślałem że to kwadrat.

wygląda na to że twoje rozwiązanie jest dobre.

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 3 mar 2016, o 16:07

kerajs, Mowa o dwóch kołach. Skąd się wzięło to równanie z jedną niewiadomą? Z tego co widzę, to zakładasz, że pierwsze koło ma być maksymalnie duże. Ja to poprzedziłem analizą funkcji opisującej sumę pól kół w funkcji jednej zmiennej (jednego z promieni). Ale jak rozumiem, mamy ten sam wynik? Nie podajesz promieni dwóch kół, tylko jednego.-- 3 mar 2016, o 16:20 --

Kartezjusz pisze:Jak poprowadzimy prostą dzielącą trapez na dwa trapezy prostokątne (lub trójkąty prostokątne), to największą sumę pól dadzą koła wpisane w nie.

Sugerujesz, żeby podzielić prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, wpisać w nie koła i to będzie to? Z pewnością nie.

Longines · Post autor: **Longines** » 3 mar 2016, o 20:22

Z uwagi iż nie posługuję się LateX-em (i nie będę), mogę wysłać rozwiązanie na prywatną pocztę (nie PW) założyciela tematu.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 3 mar 2016, o 20:27

Nie na trójkąty, ale trapezy. Skrajnie będą prostokątne trójkąty

kerajs · Post autor: **kerajs** » 4 mar 2016, o 00:50

kristoffwp pisze:kerajs, Mowa o dwóch kołach. Skąd się wzięło to równanie z jedną niewiadomą? Z tego co widzę, to zakładasz, że pierwsze koło ma być maksymalnie duże. Ja to poprzedziłem analizą funkcji opisującej sumę pól kół w funkcji jednej zmiennej (jednego z promieni). Ale jak rozumiem, mamy ten sam wynik? Nie podajesz promieni dwóch kół, tylko jednego.

Tak, to identyczne wyniki. Podałem tylko promień mniejszego koła.

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 4 mar 2016, o 09:25

Kartezjusz Szczerze przyznam, że nie rozumiem co masz na myśli, wynik wg Ciebie jest inny? Jak podziału dokonać, dowolnie? Jak w taki trapez wpisać koło?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 4 mar 2016, o 09:31

Nie. Tylko zawężam krąg poszukiwań do tych kół, które są styczne zewnętrznie.

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 4 mar 2016, o 11:44

Można poprosić Kolegę Kerajsa o rysunek do tych wzorów?
W.Kr.

Elayne · Post autor: **Elayne** » 4 mar 2016, o 20:24

Kartka papieru w formacie A4 ma wymiary: \(\displaystyle{ 297}\) na \(\displaystyle{ 210}\) mm. Na takiej kartce można narysować dwa okręgi o promieniu \(\displaystyle{ 76,75}\) mm.